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Ecuación del Movimiento Armónico Simple (MAS) para Física de Bachillerato: Ondas

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.), MOVIMIENTO VIBRATORIO: ONDAS.

El MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE al objeto de sacar algunas conclusiones interesantes del movimiento, se puede representar como la proyección sobre el eje horizontal(o vertical) de un movimiento circular uniforme (w=cte).

Notar que si P, describe un movimiento circular uniforme, su proyección sobre cualquiera de los ejes describe un movimiento armónico simple de tal modo que como la partícula que lleva el movimiento circular sigue un movimiento uniforme, la única aceleración que tiene es aceleración normal, con la siguiente expresión:

que sobre el eje vertical es:

Como a su vez, la posición sobre el eje y:

Que normalmente se expresa:

Notar que la aceleración del movimiento sobre el eje Y (vibratorio) es tal que la aceleración es directamente proporcional a la posición y de sentido contrario a ella.

Lo que pretendemos es obtener la ECUACION del Movimiento Armónico Simple, que como todas las ecuaciones del movimiento es una función: y(t), esto es: la posición en función del tiempo. Como en nuestro caso y por la relación con el tema de ondas, nos interesa mucho más la posición en y, el estado de vibración vertical, lo que llamamos ELONGACIÓN.

Se trata pues de montárselo para tener una expresión de la posición, de la y, en función del tiempo:

Por Trigonometría sabemos que:

y=A·senθ.

Por Cinemática además sabemos que para el MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME tenemos que, como: velocidad=espacio/tiempo:

En magnitudes angulares, en Movimiento Circular Uniforme:

w=θ/t, con lo que queda: θ=w·t, que puesto en la ecuación de la elongación:

y=A·senθ=A·sen(w·t)

que responde a la ecuación del movimiento vibratorio, pero que se inicia en el origen del sistema de referencia, tal y como indica el primer dibujo.

Como en general en t=0, no tenemos por qué estar en la posición y=0, y para considerar todas las posibilidades, es conveniente considerar ese "ángulo inicial" o DESFASE, que aparece en el segundo dibujo, por lo que la ecuación anterior queda:

y=A·sen(wt+φ); Que es la ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE que andábamos buscando.

al grupo (wt+φ) se le denomina FASE DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

a φ se le llama FASE INICIAL o DESFASE DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

La VELOCIDAD de este movimiento, es la derivada de la posición con respecto al tiempo, como siempre:

es la VELOCIDAD DE FASE que observando la fórmula se concluye que es cero cuando la elongación es máxima (wt+j=90º+kp), y máxima cuando la elongación es cero (wt+j=0º+kp), ya que depende de los valores del coseno.

Respecto a la ACELERACIÓN, que se obtiene derivando la velocidad (la aceleración es la variación de la velocidad y VARIACIÓN=DERIVADA)

Como además:

Resulta que:

Que coincide con la ecuación del MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICO SIMPLE (MAS) en el sentido en que la aceleración es de sentido contrario a la posición y proporcional a ésta.

En un plan más serio:

La ECUACIÓN GENERAL DE UN MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.):

Como se puede ver de la expresión de la ACELERACION:

ésta es máxima en los extremos y cero en el centro. Recordar que la aceleración normal es la variación de la dirección de la velocidad y la aceleración tangencial, indica el cambio en módulo de la velocidad.

 

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