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Resolución del ejercicio M2BE1946, Un Problema de Optimización de Fútbol

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN M2BE1946:

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EJERCICIO M2BE1946:

Teniendo en cuenta que el extremo izquierdo de un equipo de fútbol tiene que quedarse en línea de banda, hallar la distancia del córner a la que debe tirar a la portería contraria de manera que esté en las condiciones óptimas de marcar un gol.

ACLARACIONES PARA LA REALIZACIÓN DEL EJERCICIO:
La FIFA establece para partidos internacionales las siguientes medidas de los campos de fútbol:
Longitud: 100 a 110 metros
Ancho: de 64 a 75 metros.
Longitud de la portería: 7,32 m
Resolver el ejercicio con las medidas máximas indicadas por la FIFA para partidos internacionales.
Nota: se entiende que las condiciones óptimas para marcar un gol deben ser las que se dan cuando el jugador ve la portería contraria bajo el mayor ángulo posible.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

Para la resolución del ejercicio, nos ayudaremos del siguiente dibujo y de la idea de que el mayor ángulo posible es tambien el mayor valor posible para la tangente del ángulo.

Esto, la tangente del ángulo, será entonces la función objeto de máximo o mínimo, LA FUNCIÓN OBJETIVO:

El uso de la tangente es conveniente ya que teniendo en cuenta que en su definición intervienen los catetos opuesto y contiguo, nos permiten poner la función a través de las magnitudes horizontales y verticales (ancho y alto) del ejercicio, que son las distancias que nos dan y que se nos solicitan.

SITUACIÓN. DIBUJO I:

En el dibujo hemos indicado las medidas del campo, de la portería y las distancias que quedan a ambos lados de la portería. Para las distancias que quedan a ambos lados hemos cogido los 75 cm de ancho del campo de fútbol, con las medidas máximas, le hemos descontado el tamaño de la portería (7,32) y el resultado lo hemos dividido entre dos, ya que la portería, como no puede ser de otro modo está centrada en la línea de fondo.

El principal problema para este ejercicio de optimización es que el triángulo que nos interesa, el marcado en azul y determinado por el ángulo “alfa” no es rectángulo, con lo que vamos a necesitar otros rectángulos que sí que lo sean, ya que sabemos que las herramientas para triángulos rectángulos son más operativas.

Usaremos los otros dos triángulos, que sí que son rectángulos:

El determinado por el ángulo “beta” más pequeño y que tiene como cateto contiguo “x” y como cateto opuesto “33,84”; 

Y el triángulo rectángulo determinado por el ángulo “gamma”, que tiene como cateto contiguo “x” y como cateto opuesto “33,84 + 7,32”;

Podemos obtener la tangente de beta, del siguiente modo:

Podemos obtener la tangente de gamma, del siguiente modo:

Teniendo en cuenta que el ángulo que nos interesa para la FUNCIÓN OBJETIVO es alfa, y que este ángulo alfa es precisamente la resta de gamma menos beta:

Considerando la relación de trigonometría para la tangente de la resta de dos ángulos:

Nos queda, en nuestro caso:

Que teniendo en cuenta los valores obtenidos anteriormente para la tangente de gamma y beta:

Haciendo operaciones, jugando con las fracciones del numerador y denominador:

Con lo que ya tenemos la función objetivo en función de una sola variable:

Para obtener los máximos y mínimos, tenemos que derivar y posteriormente igualar a cero:

Igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación que resulta:

Que es el posible máximo o mínimo.

Sólo nos falta por confirmar que se trata de un máximo. Lo haremos con el criterio de la primera derivada, esto es, sustituyendo un punto anterior y otro posterior a éste y ver que sea primero creciente y después decreciente. Tomaremos 37 m como anterior y 38 m como posterior:

Efectivamente, el ángulo mayor, las mayores posibilidades de marcar gol, se encuentran en la posición x=37,19 m.

El extremo izquierdo, suponiendo que se mantenga en la línea de banda, encuentra las condiciones óptimas de marcar gol a 37,19 metros del corner.