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Derivadas de Funciones Implícitas

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS:

Una función implícita es una función definida de la forma F(x,y) = 0, en lugar de la forma y = f(x), que es la que frecuentemente nos dan.

Por ejemplo: 3x + 2y2 – 5x + 4 = 0

En estos casos, si pretendemos obtener la derivada, hay que tener en cuenta que si calculamos y ’, lo que estamos haciendo es la derivada de y respecto de x, con lo que es bueno conocer estas ideas o reglas:

La derivada de x2 es 2x, sin problemas.

La derivada de y es y ’ , que debe quedar indicada.

La derivada de 2y, es entonces 2 · y ’ , que debe quedar indicada

La derivada de y2, será entonces 2 · y · y ’ ; ya que la derivada de u m es m · u m-1 · u ’

La derivada de x·y hay que tratarla como un producto, esto es: (x) ’ · y + x · y ’ = 1 · y + x · y ’

La derivada de y2, será entonces 2 · y · y ’

 

EJEMPLOS QUE PUEDEN AYUDAR A OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA:

EJERCICIOS M2BP361:

1.- Hallar la derivada de la siguiente función implícita:

Haciendo la derivada:

 

Ya que el problema es que la derivada de y hay que dejarla indicada (y ’)

2.- Hallar la derivada de la siguiente función implícita:

Haciendo la derivada:

 

Donde hemos utilizado la derivada de un producto cuando ha sido necesario y la derivada de y hay que dejarla indicada (y ‘). La derivada de la constante 5 es cero.

 

Donde hemos sacado factor común de y ‘ , de la derivada, al objeto de despejarla, ya que es lo que nos estan pidiendo.

3.- Hallar la derivada de la siguiente función implícita:

Haciendo la derivada:

Donde hemos sacado factor común de y ‘ , de la derivada, al objeto de despejarla, ya que es lo que nos estan pidiendo.

 

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