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Resolución de los Ejercicios de Discusión de Sistemas de Ecuaciones por Rouché

RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES, POR EL TEOREMA DE ROUCHÉ Y RESOLUELTOS POR LA REGLA DE CRAMER:

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RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

RESOLUCION EJERCICIO M2BE75:

  ESTUDIO DEL RANGO 2 DE A:

  A tiene rango 2 como mínimo independientemente de a, ya que el primer determinante de orden 2 es distinto de cero.

  ESTUDIO DEL RANGO 3 DE A:

 

  Si a=-29/6; el rango de A es 2; si a¹-29/6; el rango de A es 3

  ESTUDIO DEL RANGO 3 DE A’:

  Sería buena cosa empezar por el determinante de orden 3 de A’ que podemos formar de manera que sea independiente de a; con las columnas 1ª, 3ª y 4ª:

 

  A’ es de rango 3 independientemente de lo que valga a.

  El sistema es INCOMPATIBLE si a=-29/6;

  El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO si a¹-29/6. En este caso:

RESOLUCION EJERCICIO M2BE1825:

  Nos apoyaremos en el teorema de Rouché, calculando rangos de la matriz de los coeficientes de las incógnitas (matriz M) y de la matriz ampliada con los términos independientes (matriz M’).

  Las matrices

        

  Rango de M; para el cálculo del rango utilizamos las propiedades de los determinantes, calculando menores de la matriz M:

  Respecto a la posibilidad de rango dos:

 

  Con lo que el rango(M) es al menos 2. (el resultado del determinante anterior podemos interpretarlo como que las dos primeras columnas de M son independientes)

  Respecto a la posibilidad de rango tres:

 

  Con lo que si a=20, el rango(M)=2; y si a≠20, rango(M)=3. (el resultado del determinante anterior podemos interpretarlo como que la tercera columna depende de las dos primeras cuando a=20)

  Rango de M’: Como M’ incluye a M, todo lo de M es aplicable a M’. Lo único que nos faltaría es comprobar que la cuarta columna de M’, añade alguna diferencia respecto al rango 3, con lo que vamos a calcular el determinante formado con la primera, segunda y cuarta columna de M’:

 

  Con lo que este último determinante de M’ se anula cuando a=-1/3, aportando algunas diferencias al rango tres de M’ respecto del de M.

  Lo mejor es verlo con una tabla como la que sigue, para globalizar el ejercicio:

  Que se reduce a los dos casos siguientes:

  Si a=20, Sistema Incompatible (No coincide el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada)

  Si a≠20, Sistema Compatible Determinado

 

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