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Resolución del ejercicio M2BE1949, Problema de Optimización, de Máximos y Mínimos

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN M2BE1949:

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EJERCICIO M2BE1949:

Identificar las dimensiones del triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio R, que podemos construir con mayor perímetro.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

Lo primero, sería representar la situación, con las ideas claves para poder resolver este problema de optimización:

El triángulo azul, es el que estamos buscando, isósceles de base 2b (veremos que esto puede simplificarnos los cálculos, y con los lados iguales de lado L.

Vamos a desarrollar el problema utilizando, el Teorema del ángulo central:

TEOREMA DEL ÁNGULO CENTRAL, debido a Euclides:

“El ángulo central construido por dos puntos de una circunferencia es el doble que cualquier ángulo inscrito construido por esos mismos dos puntos”, o dicho de otro modo:

“El ángulo que tiene un vértice en el centro de la circunferencia es el doble del ángulo cuyo vértice está en la circunferencia cuando las líneas que forman el ángulo cortan a la circunferencia en los mismos dos puntos”

De hecho, en el dibujo lo hemos dejado indicado: en verde, el inscrito; y en rojo el central. Los hemos llamado 2α y 4α, ya que vamos a trabajar con triángulos rectángulos (la mitad del triángulo isósceles) y eso nos va a ayudar en la simplificación de los cálculos.

El PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN, consiste en un primer momento en identificar la función objeto de máximo o mínimo, que en nuestro caso es el perímetro del triángulo isósceles:

Que como podemos observar está en función de dos variables, que nuestros mayores esfuerzos serán ponerla en función de una sola variable:

Vamos a jugar con dos triángulos rectángulos (los triángulos rectángulos aportan un mayor número de herramientas). Trabajaremos con la mitad del isósceles y otro pequeño de su interior. Estarán indicados en los dibujos siguientes en rojo y en naranja respectivamente.

Basándonos en el triángulo rojo, del siguiente dibujo, triángulo rectángulo mayor, resultado de dividir el triángulo isósceles en dos mitades, podemos utilizando el Teorema de Pitágoras y teniendo en cuenta las medidas del ángulo superior (α), el cateto opuesto (b), el cateto contiguo al ángulo (h) y la hipotenusa (L):

Por otro lado, de este mismo triángulo rectángulo mayor (rojo), podemos obtener la tangente del ángulo, como la relación entre el cateto opuesto y el contiguo:

Si ahora nos fijamos en siguiente dibujo, en el triángulo rectángulo naranja:

En el que el ángulo central tiene un valor de 2α, su cateto opuesto sería b, su cateto contiguo corresponde a la resta de h menos R (h-R), el valor de la tangente del ángulo central:

Se trataría de relacionar estas dos expresiones de las tangentes del ángulo inscrito y del central, para ello necesitamos la fórmula de trigonometría de la tangente del ángulo doble:

Sustituyendo en la fórmula de la tangente del ángulo doble anterior, los valores dados por las expresiones (II) y (III):

Recordar que en la función objeto de máximo o mínimo LA FUNCIÓN OBJETIVO, del inicio del ejercicio, la del perímetro del triángulo isósceles:

Teníamos que ponerla en función de una sola variable.

Con la expresión (IV), podremos poner la b en función de la altura h. Tener en cuenta que la R, el radio de la circunferencia, es un dato, no debe ser considerado variable. Este problema nos los complican diciendo de radio R, aunque en uno más sencillo podría aparecer con un radio igual a algún valor específico.

Con la expresión (I):

y con lo que obtengamos de la (IV) podremos poner la función objetivo expresada en función de una sola variable. Veremos:

De la expresión (IV):

ya tenemos la b de la base expresado en función de la altura h (recordar que R es un dato).

Ahora con la expresión (I), y este valor de la b podremos poner la L en función de la altura h:

Ahora poniendo la expresión (V) y la (VI) en la función objetivo:

Tendremos la función objetivo en función de una sola variable:

Esta función p(h), ya sóla en función de una única variable será la que derivamos al objeto de obtener los máximos o mínimos (queremos el perímetro mínimo). Derivando entonces:

Ya que derivamos en función de h. Recordar que la DERIVADA DE UNA RAÍZ CUADRADA:

Igualando la derivada a cero, para encontrar los posibles máximos o mínimos:

Elevando al cuadrado, para eliminar las raíces:

Operando y desarrollando el cuadrado de la diferencia:

Ordenando esta ecuación en función del grado de h y eliminando términos iguales en los dos miembros:

Sacando factor común de h2:

 

Surgen dos ecuaciones:

La solución de h=0, no tiene sentido en la situación que se nos plantea, con lo cual tenemos sólo un posible máximo o mínimo razonable (punto singular) cuando h = 3R/2. Comprobemos que es el máximo que nos piden, utilizando el criterio de la primera derivada, que consiste en ver el crecimiento de la función antes y después del punto singular. Para que sea máximo sabemos que tiene que ser creciente antes del punto singular y decreciente después del punto singular.

Teniendo en cuenta que el punto singular se encuentra en 3R/2 = 1,5 R, tomaremos antes del punto el valor R y después del punto no podemos tomar el valor 2R, ya que si miramos el dibujo y pensamos en una altura igual a 2R nos quedamos sin triángulo, ya que esto correspondería al hecho de que la altura es igual al diámetro de la circunferencia. Por ello no nos queda otro remedio que tomar el valor 1,7 R por ejempplo. Sustituiremos ambos en la derivada para ver el crecimiento a ambos lados del singular:

Cuando h = R :

Indicándonos que es creciente antes del punto.

Cuando h = 1,7 R :

Indicándonos que es decreciente después del punto singular, con lo que REALMENTE ES UN MÁXIMO.

El resultado que se nos pide, el triángulo isósceles de mayor perímetro que podemos inscribir en una circunferencia de radio R, será aquél que tenga una altura de valor h=3R/2; con lo que la base tendrá que tener un valor igual a, de la ecuación (V):