INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES:

  Una función racional es un cociente de polinomio, con lo que estamos hablando del modo de resolver integrales del tipo:

  Donde tanto P(x) como Q(x) son polinomios.

  Dependiendo tanto del grado de P(x) como de Q(x) y sobre todo de las raíces del denominador (de Q(x)), se distinguen diferentes casos:

 I) Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador:

«Se hace la división», de forma algebraica clásica obteniendo el cociente C(x) y el resto R(x) para expresar la integral del siguiente modo, más sencilla de resolver

              

II) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador:

No hay que hacer la división y entramos ya en métodos de integración de funciones racionales.

Dependiendo del grado y de las raíces del denominador (VER DESCOMPOSICION FACTORIAL DE POLINOMIOS), se distinguen a su vez 4 casos:

II.1) Si el denominador es de primer grado, la integral es directamente un logaritmo neperiano.

II.2) Si el denominador es de grado superior a uno, y al descomponerlo tiene RAÍCES REALES SIMPLES:

Se descompone el denominador en factores, se utiliza el METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS y quedan integralitas inmediatas del tipo logaritmos neperianos.

EJEMPLO:

  Identificando numeradores, ya que los denominadores son iguales:

Para encontrar los valores de A y B que cumplen esta realidad, podemos darle valores “convenientes” a la x, de tal modo que:

 Con lo que ya podemos transformar la integral en suma de integralitas que serán logaritmos neperianos:

II.3) Si el denominador es de grado superior a uno, y al descomponerlo tiene RAÍCES REALES MÚLTIPLES:

Lo mismo que en el caso anterior, pero hay que tener en cuenta que para los factores correspondientes a las raíces múltiples hay que considerar los de menor grado.

EJEMPLO:

Identificaríamos los numeradores, igual que en el caso anterior y los valores convenientes en este caso sólo tenemos uno: x=1, con lo que una vez calculado B con este valor, hay que sustituirlo y tomar por ejemplo x=0 para hallar el valor de A.

Cuando hacemos esto, nos queda A=2; B=3, con lo que nos quedan dos integrales, un logaritmo neperiano y una potencial que se puede resolver por sustitución por ejemplo.

 II.4) Si el denominador al descomponerlo tiene RAÍCES IMAGINARIAS, a su vez se distinguen tres casos:

II.4.a) Numerador de grado cero y denominador de segundo grado

II.4.b) Numerador de primer grado y denominador de segundo grado

II.4.c) Denominador de grado superior a dos, con raíces imaginarias combinadas con reales

Estos tres casos correspondientes al tipo II.4) de Integrales Racionales, lo comentamos en el siguiente artículo, para no sobrecargar éste:

INTEGRALES RACIONALES CON DENOMINADOR DE RAICES IMAGINARIAS

 

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