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Ejercicio Resuelto F2P422 de Obtención de Fuerzas Gravitatorias Vectorialmente para Física de Bachillerato

EJERCICIO RESUELTO DE OBTENCIÓN DE FUERZAS GRAVITATORIAS VECTORIALMENTE, PARA FÍSICA DE 2º BACHILLERATO:
 
PODRÍA INTERESAR:
EJERCICIO F2P422:
Tenemos una distribución de masas, de tal modo que la masa m1 de 1 kg está situada en el punto A(3,2) y la masa m2 de 2 kg se encuentra situada en el punto (-1,-2) de un sistema de ejes cartesiano, donde las unidades se expresan en metros.
 
En esta situación, hallar la fuerza gravitatoria que la masa m1 hace sobre la masa m2, así como el módulo de la fuerza gravitatoria anteriormente calculada.

 

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:
La situación es la que se propone en los siguientes dibujos. Queremos la fuerza que m1 hace sobre m2, que es la representada en el primer diagrama, ya que por “fuerza que la masa m1 hace sobre la masa m2” normalmente se entiende la fuerza que tiene por punto de aplicación la masa 2 y que está generada por la presencia de la masa 1.
 
Esta fuerza está representada en el siguiente dibujo:
 
 
La Fórmula que vamos a usar es que corresponde a la Ley de Newton de Gravitación Universal:
 
 “La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; la línea de acción de la fuerza es la recta que une los dos cuerpos; la constante de proporcionalidad es G, que es universal e igual a 6,67·10-11)”
 
 
Expresando esto mediante una fórmula que contemple las características vectoriales de la distribución de masas, para poder obtener una expresión vectorial de la fuerza, según el sistema de referencia elegido:
 
Con la fórmula enmarcada es con la que vamos a trabajar.
 
Donde:
 
El signo negativo indica que se trata de una fuerza atractiva.
 
El vector F12 es la fuerza que m1 hace sobre m2 (aplicada sobre m2 y dirigida hacia m1)
 
El vector r12 es el vector de posición que sale de m1 y termina en m2
 
Notar que el signo negativo es más que necesario ya que el vector de posición r12 y el vector fuerza F12 tienen la misma dirección y sentidos opuestos. De hecho estamos utilizando el vector de posición para darle características vectoriales a la fuerza.
 
Con |r12| queremos indicar el módulo del vector r12
 
El vector u12 es un vector unitario en la dirección y sentido del vector r12. Este vector unitario (de módulo igual a la unidad) se obtiene dividiendo el vector de posición por su módulo.
 
G=6,67·10-11 N·m2/kg2 es la constante de gravitación universal
 
Los vectores están indicados en “negrita”.
 
El vector de posición r12 está indicado en el siguiente dibujo, donde debemos notar que es el vector que sale de la masa 1 y termina en la masa 2 (de igual dirección que la fuerza que buscamos pero de sentido contrario).
 
Para utilizar la fórmula:
 
 
Lo primero que necesitamos es el vector de posición que sale de la masa 1 y termina en la masa 2 , que es:
 

 

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Esto se observa en el dibujo, pero si nos cuesta trabajo podemos obtenerlo diciendo que el vector que va desde el punto A al punto B es el que se obtiene restando las componentes del punto B (extremo del vector) al del punto A (origen del vector):
 
 
 
Como de este vector vamos a necesitar el módulo:
 
 
Ya que el módulo de un vector es la raiz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.
 
Por ello, ya utilizando la fórmula para la fuerza gravitatoria que nos piden:
 
 
Que haciendo operaciones con la calculadora:
 
 
Con lo que el módulo de la fuerza es: