Teorema de Rouché
31 octubre 2011
Regla de Cramer de Resolución de Sistemas de Ecuaciones
31 octubre 2011

Demostración del Teorema de Rouché

ENLACE AL ARTÍCULO CON EL ENUNCIADO DEL TEOREMA DE ROUCHÉ.

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE ROUCHÉ:

El sistema general tiene solución si existen unos números x1, x2,…, xn que al ponerlos en cada una de las ecuaciones nos da el término independiente ci . Como se tiene que verificar esto para todas las ecuaciones al mismo tiempo, lo que se ha de verificar es la ecuación matricial:

Esto equivale a decir que la columna de los términos independientes (matriz C) es combinación lineal de las columnas de los coeficientes (A1,A2,…,An), ya que se obtiene multiplicando cada una de estas columnas por unos números, xi, por lo que C depende linealmente de las columnas A1,A2,…,An

Es por esto por lo que el rango de la matriz A de los coeficientes no varía al ampliarla con una nueva columna formada por la de los términos independientes (C).

Para ayudar a entenderlo, pensar que si el rango de A es menor que el rango de A’, la columna C no es combinación lineal de las columnas Ai, lo que nos indica que no existen unos números x1, x2,…, xn con los que conseguimos que se cumplan todas las ecuaciones.

El rango de A no puede ser mayor que el de A’, ya que A’ tiene una columna más, en cuyo caso o tienen el mismo rango o es A’ la que tiene el rango una unidad mayor.

 

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