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Cálculo del rango de una matriz, utilizando determinantes para matemáticas de 2º de bachillerato

RANGO DE UNA MATRIZ

«Es el número de filas linealmente independientes, que coincide con el número de columnas linealmente independientes.»

   Si una fila de una matriz es combinación lineal de las restantes, el determinante de la matriz es cero.

   Si las líneas de una matriz cuadrada son linealmente independientes, su determinanate es distinto de cero.

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   La condición necesaria y suficiente para que un determinante sea distinto de cero es que sus filas  (y sus columnas ) sean linealmente independientes.

   Rango de una matriz es el máximo orden de sus menores* no nulos.

(*) Un menor es el determinante de cualquier submatriz cuadrada.

 

CáLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ RECURRIENDO A SUS MENORES:

   En primer lugar es aconsejable descubrir a simple vista si hay líneas que sean combinación lineal de otras paralelas o proporcionales, en cuyo caso se prescinde de ellas, en todo el proceso que veremos a continuación.

   Si lo hay, se toma un menor de orden 2 no nulo, y se le orla con una fila fija y con las diferentes columnas, obteniendo distintos determinantes de orden 3. Si todos estos menores de orden 3 son nulos, la fila fija es combinación lineal de las dos que forman el menor de partida y por tanto se prescinde de ella para la búsqueda del rango. En este caso se toma otra fila fija para orlar y se repite todo el proceso con ella. Si al hacer esto con todas las filas, los menores obtenidos son nulos, el rango de la matriz es 2; pero si en este proceso se encuentra un menor de orden 3 no nulo, en ese momento se puede afirmar que el rango de la matriz es al menos 3. Tomando en este último supuesto el menor de orden 3 no nulo, se le orla con una fila fija y con las distintas columnas, se sigue un proceso análogo al anterior, que conduce o bien a que el rango que buscamos es tres, por haber ido suprimiendo todas las filas con las que se orla, o bien a que el rango es al menos cuatro, si se localiza un menor de orden cuatro no nulo. En este último caso se vuelve a repetir el proceso.

 

IR A UN EJERCICIO RESUELTO DONDE SE APLICA ESTA MANERA DE CALCULAR EL RANGO

CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ, UTILIZANDO UNA PLANTILLA DE WIRIS, EN UN ARTÍCULO DE ESTA MISMA WEB:  CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ CON WIRIS

 

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