Profesora Particular de Matemáticas, Física y Química en Natzaret, Valencia (España)
12 febrero 2013
Profesor Particular de Matemáticas y Física en La Joya, Arequipa (Perú)
14 febrero 2013

Resolución del Ejercicio de Cálculo de Áreas, utilizando la Integral Definida

EJERCICIO RESUELTO DE CÁLCULO DE ÁREAS ENCERRADAS POR FUNCIONES:

PODRÍA INTERESAR IR A INTEGRAL DEFINIDA, REGLA DE BARROW

     ÁREAS ENCERRADAS POR UNA FUNCIÓN Y EL EJE OX

      AREA ENCERRADA POR DOS FUNCIONES

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RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO M2BX267:

Para la función:

a.- Dibujarla, hallando puntos de corte con los ejes, máximos y mínimos y puntos de inflexión.

Los puntos de corte con los ejes:
Con el eje OX cuando la y=0

Con el eje OY cuando la x=0:

Corta en los puntos (0,0) y (3,0)

Máximos y mínimos, cuando la derivada es igual a cero:

 

En x=3 y en x=1 tenemos posibles máximos o mínimos. Para distinguir el máximo y el mínimo, recurrimos al criterio de la 2ª derivada: Si la 2ª derivada es positiva tenemos un mínimo, si negativa un máximo.

Máximo en x=1; mínimo en x=3. Para obtener la ordenada de los puntos:

Máximo es el punto (1,4); mínimo el punto (3,0)

Los puntos de inflexión son los puntos en los que la segunda derivada vale cero:

En x=2 tiene un punto de inflexión. Para obtener la ordenada del punto:

 

Tenemos un punto de inflexión en el punto (2,2)

La representación con estos puntos está muy definida y corresponde a:

b.- Hallar el área encerrada por esta función y el eje OX

 

El área encerrada por la función y el eje OX corresponde con el recinto entre x=0 y x=3, por ello, directamente coincide con la integral entre cero y tres de la función (notar como está por encima del eje OX):

c.- Sabemos que la ecuación de la recta en forma punto pendiente es:

Como la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente a una curva por un punto x=a es:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva por su punto de inflexión.

Teniendo en cuenta que el punto de inflexión es el punto (2,2)

d.- Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, su pendiente es igual a la inversa de la pendiente de la recta tangente cambiada de signo, por ello la ecuación de la recta normal (perpendicular) a una curva por un punto de abscisa x=a es:

Hallar la ecuación de la recta normal a la curva f(x) por su punto de inflexión

e.- La ecuación de la recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:

Hallar la ecuación de la recta (cuerda) que une los puntos de la función f(x) que tienen como abscisa x=1 y x=3

Los puntos son (1,4) y (3,0)

f.- Hallar el área encerrada por la función f(x) y la recta que corta a f(x) en los puntos de abscisa x=1 y x=3:

El recinto es el representado en la figura, en el que hay que tener en cuenta que son dos recintos, obligándonos a utilizar los valores absolutos a menos que tengamos claro qué función es la que está por encima en cada tramo (con esta representación está muy claro pero de todos modos usaremos los valores absolutos, que será lo que normalmente haga el alumno).

Necesitamos los puntos de corte de la función con la recta, para lo que resolveremos el sistema formado por las dos ecuaciones:

Tenemos que resolverlo por Ruffini, quedándonos tres soluciones, que además se ven muy bien en la representación gráfica: x=1; x=2; x=3. Siendo x=2 el punto en el que tenemos que subdividir la integral para solucionar el problema de las áreas positivas y negativas.

Entonces el área, teniendo en cuenta los valores absolutos:

 

Donde para no estirar el texto hemos puesto directamente el resultado final.

Notar como sale negativa la segunda integral al ser el minuendo la función que está debajo.

Notar igualmente como las áreas son lógicas (son pequeñas igual que en el dibujo) y además valen lo mismo dada la simetría de los sectores.

 

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