REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO. PERIODICIDAD DE LA FUNCIÓN:

PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA:

El estudio de la periodicidad de una función en matemáticas, sólo es necesario cuando tenemos funciones trigonométricas: aquéllas en las que en su expresión aparecen funciones trigonométricas (senos, cosenos o tangentes).

Esto es conveniente ya que una vez que conocemos el periodo, nos centramos en un tramo correspondiente a ese periodo (estudiamos lo relativo a la función dentro de ese dominio) y así cuando resolvemos ecuaciones trigonométricas (para localizar puntos de corte, máximos y mínimos, puntos de inflexión…), sólo tenemos que centrarnos en aquéllos valores que caen dentro del periodo.

(Si el periodo de una trigonométrica cualquiera sospechamos que es por ejemplo π, nos centramos en el estudio de la función entre [0, π] y al final lo único que tenemos que hacer es repetirla por delante y por detrás de ese tramo al dibujarla)

Si en el proceso resulta que el periodo que realmente tiene es más pequeño que el que hemos elegido, no hay problema.

Se dice que una función y=f(x) es periódica si existe un número T para el cual f(x+T)=f(x) cualquiera que sea x. Es decir, cuando su gráfica se repite cada tramo de longitud T.

Sabemos que las funciones sen x y cos x tienen periodo 2π y tan x tiene periodo π.

Notar como el seno de x; f(x) = sen x (en rojo) se repite en tramos de x de tamaño 2π

Notar como el coseno de x; f(x) = cos x (en azul) se repite en tramos de x de tamaño 2π

Sin embargo la tangente de x; f(x) = tan x (en gris) se repite en tramos de x de tamaño 2π, se han marcado además las líneas verticales de puntos correspondientes a las asíntotas verticales de la función tangente de x en los múltiplos de π/2 (en los múltiplos de 90º que es donde no está definida la función tangente por este motivo)

Para conocer el periodo de las funciones que son combinaciones de las anteriores, podemos utilizar las siguientes reglas:

• En general si y=f(x) es de período T, la función y = f(kx) es de período T/k.

por ejemplo:   sen 2x es de período 2π /2 o sea de período π.

En general:     sen kx es de período 2π /k

                      cos kx es de período 2π /k

                      tg kx es de período π /k

Otra serie de reglas que pueden ayudar para localizar la periodicidad de funciones trigonométricas:

• Si operamos funciones periódicas del mismo período, el resultado es otra función periódica y el período es el mismo o acaso menor. (si es menor no hay problema, el problema sería que realmente fuera mayor porque podríamos perder información relevante de la función, al estudiarla en un tramo inferior al periodo)
• Si tienen distinto período suelen tener el período de la que tenga mayor período.
• En general: “La suma, producto, composición,… de funciones periódicas es periódica y su período es como máximo el mínimo común múltiplo de los períodos de dichas funciones.”. (recordar que si es menor no hay problema)

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