Examen para Evaluar Obtener Factor Común en un Polinomio, para Imprimir, sin marca, de Matemáticas de Secundaria
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Propuesta de Examen de Estudio de Gráficas Espacio-Tiempo para Cinemática de Física de Secundaria y Bachillerato
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Resolución del Ejercicio (FQ4EE1892) de Estudio de Gráficas Espacio-Tiempo para Movimientos MRU, MRUA

EJERCICIO RESUELTO DE ESTUDIO DE GRÁFICAS ESPACIO-TIEMPO PARA SECUNDARIA Y BACHILLERATO:

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EJERCICIO F4EE1892:

Para la siguiente gráfica espacio-tiempo que describe la evolución del movimiento de un objeto cualquiera, responder a las siguientes cuestiones:

  1. Indicar el Tipo de Movimiento (MRU, MRUA, CAÍDA LIBRE, CIRCULAR UNIFORME O ACELERADO, TIRO OBLICUO, TIRO HORIZONTAL, MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE…, NINGUNO DE LOS ANTERIORES…:
  2. Hallar la velocidad inicial (si la tuviera)
  3. Hallar la aceleración (si la tuviera)
  4. ¿El máximo de la gráfica [punto (5,125)] se corresponde con un punto de velocidad máxima o mínima?

Hacer los comentarios pertinentes acerca de aspectos relativos al movimiento representado tales como:

a) ¿La gráfica responde a una situación real?; en su caso indicarla.

b) ¿No se corresponde con situaciones habituales y la gráfica sólo refleja capricho del autor del ejercicio?

c) ¿Hay puntos extraños en la gráfica que nos muestra la evolución del movimiento representado?.

d) ¿El movimiento que se representa en la gráfica tiene aspecto de producirse en la horizontal?

e) ¿El movimiento representado en esta gráfica es posible que se esté produciendo en la vertical?

f) En las magnitudes calculadas, ¿Se observa algún valor sospechosamente cercano a valores conocidos de magnitudes habituales? Indicarlo en su caso

g) La simetría de la gráfica ¿en qué casos es posible?. ¿Se dan en la naturaleza situaciones similares?

h) Cualquier otro aspecto de interés que indique que tenemos conocimiento del estudio de movimientos.

i) Los puntos en los que el espacio vale cero, ¿a qué lugar se puede corresponder?

j) Desde un punto de vista puramente matemático:

a. ¿Qué función define la silueta de la gráfica representada?

b. ¿Se puede obtener la expresión de la función que está representada en la gráfica?

c. ¿Si se puede obtener la expresión de la función matemática, se valorará la obtención de la misma?

RESOLUCIÓN:

 

1.- Respecto al Tipo de Movimiento, teniendo en cuenta que es un gráfico espacio-tiempo, en los tramos en los que la línea es curva, si resulta que es una parábola (como parece que es en nuestro caso) tendremos Movimientos Rectilíneos Uniformemente Acelerados (MRUA), que es lo que seguramente responde al movimiento representado.

2.- Para el cálculo de la velocidad inicial, teniendo en cuenta que parece que se trata de un MRUA, necesitamos las ecuaciones de este tipo de movimientos, y tomando algunos puntos, obtener lo que se nos pide:

Las ecuaciones para los MRUA:

En nuestro caso, como la gráfica es espacio-tiempo, los puntos que tomemos los sustituiremos en la primera de las ecuaciones, en la ecuación del movimiento, teniendo en cuenta que tal y como vemos en la gráfica, el espacio inicial, cuando el tiempo es igual a cero es cero:

Que será la ecuación donde trabajaremos:

De cada uno de los puntos podemos tomar el valor de s, al que corresponde un determinado tiempo, t, quedándonos dos incógnitas: la velocidad inicial v0 y la aceleración a.

Como tenemos dos incógnitas necesitamos dos puntos: para facilitar el cálculo tomaremos los puntos en los que el valor de s es igual a cero:

Para el punto (0,0) de la gráfica:

Este punto no nos devuelve nada. El siguiente punto el (10,0):

Como el primero de los puntos no nos aporta nada, necesitamos otro: tomaremos el (1,45):

Despejando de aquí la velocidad inicial y sustituyéndola en la anterior:

Teniendo en cuenta que:

 

Por ello:

2.- Velocidad inicial = 50 m/s

3.- Aceleración = -10 m/s2.

En este punto debemos darnos cuenta que por el valor de la aceleración, negativa (según el criterio más profesional de ejercicios de CAÍDA LIBRE) e igual a 10, super parecido a -9,8 valor de la aceleración de la gravedad, parece cierto que estamos en un caso de Movimiento en la Vertical, bajo la acción de la gravedad, donde han redondeado el 9,8 al valor 10, como en muchas ocasiones se hace. El movimiento representado puede corresponder entonces al de un objeto que se lanza hacia arriba con una velocidad de 50 m/s (notar que es positiva, hacia arriba según el criterio más profesional de ejercicios de CAÍDA LIBRE) y una vez alcanza su altura máxima (en la gráfica 125 metros, a los 5 segundos) comienza a descender.

4.- Si reconocemos el movimiento como decimos como el de vertical de subida y caída libre bajo el efecto de la gravedad en la superficie de la tierra, el máximo de la gráfica correponde a un punto de VELOCIDAD MÍNIMA.

RESPECTO A LOS COMENTARIOS QUE SE NOS SOLICITAN:

a) ¿La gráfica responde a una situación real?; en su caso indicarla.

Si tal como comentamos, es la situación de movimientos en la vertical, se trata de una situación real de lanzamiento de un cuerpo hacia arriba que está bajo los efectos de la gravedad en la superficie de la tierra.

b) ¿No se corresponde con situaciones habituales y la gráfica sólo refleja capricho del autor del ejercicio?

Se corresponde con la realidad tal y como comentamos al principio.

c) ¿Hay puntos extraños en la gráfica que nos muestra la evolución del movimiento representado?.

No se observan puntos extraños.

d) ¿El movimiento que se representa en la gráfica tiene aspecto de producirse en la horizontal?

No, tiene pinta de que es un movimiento en la vertical.

e) ¿El movimiento representado en esta gráfica es posible que se esté produciendo en la vertical?

Efectivamente se está produciendo en la vertical.

f) En las magnitudes calculadas, ¿Se observa algún valor sospechosamente cercano a valores conocidos de magnitudes habituales? Indicarlo en su caso

El valor de la aceleración de la gravedad nos ha dado cercanísimo a  9,8, se debe tratar de un redondeo para que los puntos de la gráfica respondan a números enteros

g) La simetría de la gráfica ¿en qué casos es posible?. ¿Se dan en la naturaleza situaciones similares?

La simetría de la gráfica responde al hecho de que el movimiento de subida y el de bajada tardan el mismo tiempo. Esto sólo es posible en situaciones en las que se desprecia o no se considera el rozamiento con el aire, o si estamos en situaciones de vacío, que es tal y como se tratan los movimientos en cinemática.

h) Cualquier otro aspecto de interés que indique que tenemos conocimiento del estudio de movimientos.

Si se han mencionado los anteriores, aquí poco más hay que decir a criterio de este autor.

i) Los puntos en los que el espacio vale cero, ¿a qué lugar se puede corresponder?

Se corresponden al origen elegido como origen de alturas, lo habitual es el suelo, aunque no necesariamente tiene que ser así.

j)Desde un punto de vista puramente matemático:

a) ¿Qué función define la silueta de la gráfica representada?

Una parábola, una función de segundo grado del tipo [y=ax2+bx+c]

b) ¿Se puede obtener la expresión de la función que está representada en la gráfica?

Como tendríamos que calcular los coeficientes a, b y c de la parábola; necesitamos tres puntos de la gráfica y podemos hallar los tres coeficientes y al ponerlos en la ecuación general de la parábola, nos dará la expresión matemática de la misma.

c) Si se puede obtener la expresión de la función matemática, se valorará la obtención de la misma.

Para trabajar como se hace en matemáticas, el eje de tiempos, horizontal, será el eje X, y el eje de espacios, el vertical, será el eje Y. Tomaremos los puntos (0,0); (10,0) y el (1,45), para hallar a, b y c, parámetros de la parábola:

Ya tenemos el valor de c; los valores de a y b, solucionando el sistema formado por las dos últimas ecuaciones:

Con lo que la parábola es:

Que utilizando una herramienta para representación de funciones, como por ejemplo WIRIS, para confirmarlo desde un punto de vista matemático:

Notar como podríamos haber partido de la Física, ya que de la ecuación del movimiento y de los valores que habíamos calculado:

Nos queda:

Quedando claro que asociando el espacio a la y; el tiempo a la x, nos hubiera dado lo mismo: