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Ejercicio Resuelto (FQ1BE2014) de Aplicación de las Leyes de Newton en Planos Inclinados con Rozamiento

EJERCICIO RESUELTO (FQ1BE2014) DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON EN PLANOS INCLINADOS CON ROZAMIENTO:

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PROPUESTA DE EJERCICIO RESUELTO:

EJERCICIO FQ1BE2014:

Se suelta un cuerpo a lo largo de un plano inclinado 30º con la horizontal, desde una altura de 20 m. Si el cuerpo tiene una masa de 150 kg y el coeficiente de rozamiento es de 0,3. Hallar el tiempo que tarda en llegar al suelo.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

Lo primero es identificar y DIBUJAR las fuerzas que actúan en la situación planteada, que son la NORMAL, el PESO y la FUERZA DE ROZAMIENTO:

          

La NORMAL, perpendicular a la superficie en la que se apoya el cuerpo, el PESO dirigido hacia el centro de la tierra (vertical y hacia abajo) y la FUERZA DE ROZAMIENTO, en la dirección del movimiento y de sentido contrario al movimiento:

A continuación, elegir un SISTEMA DE REFERENCIA que nos ayude, que debe ser:

El Eje X en la dirección y sentido del movimiento (para que la aceleración en este eje sea la aceleración del cuerpo).

El Eje Y perpendicular al anterior (entre otras cosas para que no haya aceleración en este eje).

           

Como el cuerpo está bajando, hemos elegido el EJE X hacia abajo a lo largo del plano inclinado.

Posteriormente hay que DESCOMPONER las fuerzas que no caigan sobre alguno de los ejes. En nuestro caso el PESO, que es habitual en los casos de planos inclinados:

               

Al descomponer el peso notar en el dibujo como el ángulo que forma el peso con la vertical coincide con el ángulo del plano inclinado con la horizontal.

Por ello, y por trigonometría la componente vertical del peso (Py) y la horizontal (Px), nos quedan:

Ya sólo queda APLICAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON A CADA UNO DE LOS EJES, tomando como sentidos positivos los indicados según los ejes elegidos. Tener en cuenta que la única aceleración es la que se presenta en el Eje X, que no hay aceleración en el eje Y:

La SEGUNDA LEY DE NEWTON:

Aplicada a cada uno de los ejes elegidos, con la situación planteada en el ejercicio:

En el eje OX:

Ya que la componente x del peso es positiva (a favor del movimiento) y la fuerza de rozamiento negativa (como no podría ser de otro modo). Necesitamos el valor de la fuerza Normal, para lo cual necesitamos lo que nos aporte la aplicación del la segunda ley de Newton al eje OY:

Volviendo con este valor a la ecuación (1) que resulta de aplicar la segunda ley de Newton al eje OX:

 

 

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Podemos obtener el valor de la aceleración. Notar que ni siquiera necesitamos el valor de la masa para ello, ya que al estar la masa en todos los términos, se puede ir al obtener factor común en la ecuación:

Con lo que la aceleración queda:

Nos piden el tiempo que tarda en llegar al suelo, partiendo de una altura de 20 metros. La situación es la siguiente:

             

En la que tendremos que obtener el espacio que recorre por trigonometría, ya que nos dan la altura desde la que desciende. Esto es:

Recordar que hemos obtenido la aceleración: a=2,35 ms-2

Utilizando las fórmulas de cinemática correspondientes al MRUA, MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO:

el tiempo que tarda en llegar al suelo, lo podemos obtener con la fórmula (2), con la ecuación del movimiento:

Que es el tiempo pedido, el tiempo que tarda en llegar al suelo.