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Determinante: Definición de la Operación

DETERMINANTES DE UNA MATRIZ CUADRADA:

   Básicamente es una operación especial que se realiza con los elementos de una matriz cuadrada, como veremos a continuación, que tiene un valor cuya interpretación conduce a resultados interesantes.

   Veremos como si el determinante de una matriz cuadrada es distinto de cero, podemos asegurar que en esa matriz no existe ninguna línea combinación lineal de las restantes. Esto es una herramienta de gran ayuda en el cálculo del rango de una matriz, que a su vez tiene una aplicación de importancia en Sistemas de Ecuaciones, ya que con el Teorema de Rouché y el estudio del rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones, y su comparación con el rango de la matriz ampliada, conocemos si el sistema tiene solucion, si es única o son varias, o si no la tiene, lo cual tiene muchísima importancia.

   Según esto, como el valor de esta nueva operación DETERMINA si un sistema tiene o no solución deriva al nombre de DETERMINANTE.

 

LA OPERACIÓN DETERMINANTE:

   Dada la matriz cuadrada de orden n:

   Se llama determinante de esta matriz al número real obtenido al sumar:

-Todos los productos posibles de n factores, elegidos entre todos los elementos de la matriz dada (nxn), de modo que en cada uno de ellos aparezca un elemento, y sólo uno, de cada fila y de cada columna.

-Anteponiendo a cada producto el signo + o -, según que la permutación de filas y de columnas sean de la misma paridad o no.

 

EXPLICAMOS ESTO UN POCO:

Se llama PERMUTACION de n elementos a todas las ordenaciones posibles de esos elementos. El número total de permutaciones es n!.

Ej: de 1,2,3: 123,132,213,231,312,321.; que como se puede ver son seis = 3! = 3·2·1

Permutación principal es aquella en la que los elementos se encuentran dispuestos en el orden natural; es decir, en el caso de tres elementos: 1, 2, 3 y en el caso de n elementos: la permutación 1234...n.

Una pareja de elementos de una permutación está invertida cuando sus elementos están en orden contrario al de la permutación principal.

Una permutación recibe el nombre de par si el número de parejas invertidas es par, impar en caso contrario.

La permutación 2341 es impar, ya que son tres las parejas invertidas: 21,31 y 41.

La permutación 43251 es impar, pues son siete las parejas invertidas: 43,42,41,32,31,21 y 51.

Si en una permutación se cambian dos elementos, la permutación cambia de paridad; es decir, si era par, pasa a ser impar, y recíprocamente.

De las n! permutaciones de n elementos, la mitad son pares y la otra mitad son impares.

En el desarrollo de un determinante, al hablar de permutaciones de columnas o de filas, nos referiremos a las permutaciones de los subíndices. Así, dado el término a13a21a32 de un determinante de tercer orden, se tiene:

permutaciones de filas: 123

permutaciones de columnas: 321

 

DETERMINANTE DE ORDEN 3:

   Sarrus propone la siguiente fórmula para el determinante de una matriz 3x3

 

Vamos a comprobar que cumple con la definición de la operación:

Tenemos 6 términos que coinciden con 3!

La mitad de ellos positivos y la otra mitad negativos.

y cada uno de ellos tiene tres factores en los que hay siempre un elemento de cada fila y uno de cada columna, por ejemplo:

el primero de los términos, el a11a22a33 tiene a11 que es de la primera fila y la primera columna, el a22 tiene que es de la segunda fila y segunda columna y el a33 tiene que es de la tercera fila y tercera columna. (están todas las filas y columnas representadas en este término).

el segundo de los términos, el a12a23a31 tiene a12 que es de la primera fila y la segunda columna, el a23 que es de la segunda fila y tercera columna y el a31 tiene que es de la tercera fila y primera columna. (están todas las filas y columnas representadas también en este término).

Así con todos.

 

Respecto a los signos y paridades de las permutaciones:

De la propia definición de Determinante se deducen algunas de sus PROPIEDADES:

  1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta es el mismo.
  2. El determinante de la matriz nula es 0.
  3. El determinante de la matriz unidad es 1.
  4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual a los elementos de la diagonal principal.

IR A PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Por curiosidad, tener en cuenta que si el determinante fuera de orden 4 (correspondiente a una matriz 4 x 4), el resultado correspondería a 4! términos, es decir 24 términos, doce positivos y doce negativos, cada uno con 4 factores, con lo lógicamente, no se calcula así, sino DESARROLLÁNDOLO POR LOS ELEMENTOS DE ALGUNA LÍNEA, utilizando las propiedades de los determinantes.

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