bachillerato

EJERCICIO RESUELTO DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON: TRES MASAS ENLAZADAS CON ROZAMIENTO:

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RESOLUCIÓN EJERCICIO FQ1BE1751:

   Tres cuerpos de masas: m₁=1 kg; m₂=2 kg y m₃=3 kg, se sitúan tal y como se ve en el dibujo. Cada uno de los cuerpos con las superficies en las que se apoya (horizontal e inclinada) presentan un coeficiente de rozamiento igual a 0,2. El plano inclinado lo está un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Se encuentran unidos por cuerdas de masa despreciable que pasan por la garganta de dos poleas sin rozamiento. Hallar la aceleración con la que se mueven los cuerpos, así como las tensiones en cada una de las cuerdas que los unen.

RESOLUCIÓN:

   Las Fuerzas que actúan sobre cada cuerpo:

   Notar en el dibujo que las tensiones son iguales dos a dos (misma cuerda, misma tensión) y tal como están representadas.

   Aplicando la segunda ley de Newton a CADA CUERPO y EN CADA EJE, tomando como sentidos positivos en cada uno los indicados (Eje X en la dirección del movimiento y sentido el que conduce el sistema hacia abajo). Eje Y perpendicular a este eje en cada cuerpo (no tiene sentido para el cuerpo 3). Teniendo en cuenta que la aceleración en el eje x es la única aceleración (a).

CUERPO 1:

   Según el sentido del movimiento, en el eje X, la Tensión se considera positiva y la Fuerza de Rozamiento negativa, en el eje Y no hay aceleración (no va dando saltitos) y la Normal se considera positiva y el Peso negativa:

CUERPO 2:

   Con los ejes elegidos, igualmente la aceleración en el eje Y es nula; descomponiendo el peso en las fuerzas P_x y P_y para que caigan en cada uno de los ejes, P_x es positivo, T negativa y T’ positiva, la fuerza de rozamiento negativa;

   En el eje Y, la Normal se considera positiva y Py negativa.

   La descomposición del peso en sus componentes P_x y P_y , por trigonometría:

CUERPO 3:

   En este caso, debemos considerar el eje vertical (que es el único eje donde hay movimiento) como si fuera el eje X, una prolongación del eje X de los otros cuerpos, para que la aceleración en este eje sea la misma que la que tiene el resto de los cuerpos.

   En este caso, y considerando el sentido positivo el del movimiento, la T’ es negativa y el P₃ es positivo.

   Con las tres ecuaciones correspondientes a los ejes X de cada uno de los cuerpos, tenemos un sistema del que podremos calcular la a:

   Las tensiones:

OTRA MANERA DE TRABAJAR:

   Hay algunos profesores que consideran el sistema de las tres masas globalmente, como si el eje X fuera único para las tres masas y “estirado” a lo largo de todo el sistema, como un eje global que se prolonga a lo largo de las tres masas en la dirección y sentido del movimiento. En este caso se genera en la dirección del movimiento una única ecuación:

   Equivalente a considerar el sistema como un sistema de partículas de masa total la suma de las masas, en el que las “fuerzas interiores” T y T’ se anulan dos a dos. Notar que la ecuación que se obtiene es la misma que cuando sumamos las tres ecuaciones correspondientes a la aplicación de la Ley de Newton a cada masa en el eje X.

   Las ecuaciones correspondientes a los ejes Y, se necesitan para obtener la expresión de la Normal para el cálculo de la Fuerza de rozamiento de cada masa.

   Por completar: si en un sistema como este o similar la aceleración nos diera negativa significaría que el sistema se mueve en sentido contrario (si fuera posible) o que está en reposo a causa de que las fuerzas de rozamiento no han sido vencidas por las fuerzas que favorecen el movimiento en el sentido considerado.

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