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Resolución del ejercicio M2BE1949, Problema de Optimización, de Máximos y Mínimos

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN M2BE1949:

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EJERCICIO M2BE1949:

Identificar las dimensiones del triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio R, que podemos construir con mayor perímetro.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

Lo primero, sería representar la situación, con las ideas claves para poder resolver este problema de optimización:

El triángulo azul, es el que estamos buscando, isósceles de base 2b (veremos que esto puede simplificarnos los cálculos, y con los lados iguales de lado L.

Vamos a desarrollar el problema utilizando, el Teorema del ángulo central:

TEOREMA DEL ÁNGULO CENTRAL, debido a Euclides:

“El ángulo central construido por dos puntos de una circunferencia es el doble que cualquier ángulo inscrito construido por esos mismos dos puntos”, o dicho de otro modo:

“El ángulo que tiene un vértice en el centro de la circunferencia es el doble del ángulo cuyo vértice está en la circunferencia cuando las líneas que forman el ángulo cortan a la circunferencia en los mismos dos puntos”

De hecho, en el dibujo lo hemos dejado indicado: en verde, el inscrito; y en rojo el central. Los hemos llamado 2α y 4α, ya que vamos a trabajar con triángulos rectángulos (la mitad del triángulo isósceles) y eso nos va a ayudar en la simplificación de los cálculos.

El PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN, consiste en un primer momento en identificar la función objeto de máximo o mínimo, que en nuestro caso es el perímetro del triángulo isósceles:

Que como podemos observar está en función de dos variables, que nuestros mayores esfuerzos serán ponerla en función de una sola variable:

Vamos a jugar con dos triángulos rectángulos (los triángulos rectángulos aportan un mayor número de herramientas). Trabajaremos con la mitad del isósceles y otro pequeño de su interior. Estarán indicados en los dibujos siguientes en rojo y en naranja respectivamente.

Basándonos en el triángulo rojo, del siguiente dibujo, triángulo rectángulo mayor, resultado de dividir el triángulo isósceles en dos mitades, podemos utilizando el Teorema de Pitágoras y teniendo en cuenta las medidas del ángulo superior (α), el cateto opuesto (b), el cateto contiguo al ángulo (h) y la hipotenusa (L):

Por otro lado, de este mismo triángulo rectángulo mayor (rojo), podemos obtener la tangente del ángulo, como la relación entre el cateto opuesto y el contiguo:

Si ahora nos fijamos en siguiente dibujo, en el triángulo rectángulo naranja:

En el que el ángulo central tiene un valor de 2α, su cateto opuesto sería b, su cateto contiguo corresponde a la resta de h menos R (h-R), el valor de la tangente del ángulo central:

Se trataría de relacionar estas dos expresiones de las tangentes del ángulo inscrito y del central, para ello necesitamos la fórmula de trigonometría de la tangente del ángulo doble:

Sustituyendo en la fórmula de la tangente del ángulo doble anterior, los valores dados por las expresiones (II) y (III):

Recordar que en la función objeto de máximo o mínimo LA FUNCIÓN OBJETIVO, del inicio del ejercicio, la del perímetro del triángulo isósceles:

Teníamos que ponerla en función de una sola variable.

Con la expresión (IV), podremos poner la b en función de la altura h. Tener en cuenta que la R, el radio de la circunferencia, es un dato, no debe ser considerado variable. Este problema nos los complican diciendo de radio R, aunque en uno más sencillo podría aparecer con un radio igual a algún valor específico.

Con la expresión (I):

y con lo que obtengamos de la (IV) podremos poner la función objetivo expresada en función de una sola variable. Veremos:

De la expresión (IV):

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