Ejercicio Resuelto (M2BE1913) de Interpretación de Gráficas de Funciones, Límites en Funciones a Trozos
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Propuesta de Examen Resuelto de Interpretación de Gráficas, Límites, Continuidad, Derivabilidad en Funciones a Trozos para Matemáticas de 2º de Bachillerato
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Resolución del Ejercicio (M2BE1913) de Interpretación de Gráficas de Funciones, Límites en Funciones a Trozos

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO DE INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO: FUNCIONES A TROZOS, OBTENCIÓN DE LÍMITES A PARTIR DE LA GRÁFICA, DE VALORES DE LA FUNCIÓN, DE LA CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD, DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS, DE ASÍNTOTAS, DE OBTENCIÓN DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN DE FORMA INTUITIVA Y RAZONADA A PARTIR DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

EJERCICIO M2BE1913:

La función f(x) que se muestra es una función a trozos. Está definida mediante 5 funciones (trozos) diferentes correspondientes cada una de ellas a los siguientes intervalos:

Función (“trozo”) I: (-∞, -5]

Función (“trozo”) II: (-5, -3]

Función (“trozo”) III: (-3, -1)

Función (“trozo”) IV: [-1, 1)

Función (“trozo”) V: [-1, +∞)

De hecho, la función a trozos de manera rigurosa debería estar definida del siguiente modo:

 

Para esta función se pide, razonando de manera suficiente las respuestas:

A.- Límite cuando x tiende a -5 por la izquierda:

B.- Dominio:

C.- Estudio de la continuidad indicando los puntos o tramos en donde pueden haber discontinuidades y tipo.

D.- Estudio de la derivabilidad indicando los puntos o tramos en donde la función no es derivable.

E.- Puntos de corte con los ejes

F.- Asíntotas: tipo y ecuación

G.- Indicar los siguientes límites en los puntos que se indican:

H.- Hallar los valores de la función siguientes:

I.- Decir el tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función I (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

J.- Decir el tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función II (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

K.- Decir el tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función III (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

L.- Decir el tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función IV (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

M.- Decir el tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función V (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

N.-Rellenar los recuadros en blanco de la definición a trozos de la función con la expresión analítica de cada uno de los “trozos” de la función que corresponda, de forma intuitiva y razonada, sin hacer operaciones (en este apartado se valorará el acercamiento a la expresión analítica correcta, ya que del gráfico puede que no quede muy claro cuál es la misma):

N1.- ¿Función I?

N2.- ¿Función II?

N3.- ¿Función III?

N4.- ¿Función IV?

N5.- ¿Función V?

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

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APARTADO A.- Del límite cuando x tiende a -5 por la izquierda:

Para situarnos, nos están pidiendo un límite lateral, un límite por la izquierda, indicado por el signo menos () encima del valor al que tiende la x.

Tener en cuenta que los límites laterales tienen sentido cuando hallamos límites en un punto, ya que a un punto nos podemos acercar por la izquierda y por la derecha (y los límites podrían ser diferentes dependiendo del lado). Concretamente en nuestro ejemplo hay un caso de esto: el límite cuando x tiende a -1. Por la izquierda la función tiende al infinito, pero por la derecha tiende a 3.

Nos piden el límite cuando la x tiende a -5 por la izquierda; esto es, cuando nos acercamos al valor de la x (componente horizontal) igual a -5 ,PERO POR LA IZQUIERDA DE -5.

La respuesta del límite es a qué altura tiende la función, la y (componente vertical).

El limite corresponde pues a la altura a la que queda la función cuando nos acercamos infinitamente al valor de la x indicado.

En el dibujo se ve muy claro que al acercarnos al valor de x=-5 (flecha roja) la función, la y, termina a una altura de 5 (flecha azul). Por ello:

APARTADO B.- Del dominio:

El dominio es el conjunto de puntos, de valores en los cuales está definida la función (la función existe) y se responde a modo de intervalos relativos al valor de la x. Notar que el único valor de la x en el que la función no está definida es el valor 3, donde hemos marcado una línea vertical en rojo en x=3 (será una asíntota).

Tanto en x=-1 como en x=1 la función está definida en el punto que se indica como un círculo negro. De hecho, en x=-1 la función tiene el valor y=3; y en x=1, parece que la función tiene el valor y=-1/2.

Se suelen dar varios tipos de respuesta para esto del dominio, que en este caso:

Dom f(x)=(-∞,3) U (3,∞)

Notar como con el uso de intervalos abiertos el valor de x=3 queda fuera de la función

O bien de este otro modo:


Que se lee “para todo x que pertenezca a los números reales tal que la x sea distinta de 3.

O incluso de este otro:

“Todos los reales menos el 3”

APARTADO C.- Del estudio de la continuidad indicando los puntos o tramos en donde pueden haber discontinuidades y tipo.

Teniendo en cuenta que una función es contínua si al dibujarla no se levanta el lápiz del papel; la función será contínua en todos los puntos salvo en x=-1, x=1 y x=3.

Para identificar el tipo, lo mejor es que calculemos los límites laterales y el valor de la función en cada uno de esos puntos:

En x=-1:

Se podría decir que en x=-1 tiene una discontinuidad de salto infinito o esencial.

En x=1:

En x=1 tiene una discontinuidad de salto finito.

En x=3:

En x=1 tiene una discontinuidad de salto infinito. Presenta una asíntota vertical de ecuación x=3.

APARTADO D.- Del estudio de la derivabilidad indicando los puntos o tramos en donde la función no es derivable.

Teniendo en cuenta que la derivada de la función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto; que para que una función sea derivable en un punto primero tiene que ser contínua la función en ese punto; y que gráficamente una función no es derivable en un punto cuando presenta un “punto anguloso” (a ambos lados del punto la pendiente de la recta tangente es diferente), esta función no es derivable en:

En x=-5 por presentar un punto anguloso,

En x=-3 por presentar un punto anguloso,

En x=-1 por no ser contínua en ese punto,

En x=1 por no ser contínua en ese punto,

En x=3 por no ser contínua en ese punto.

APARTADO E.- De los puntos de corte con los ejes:

Demasiado sencillo. Corta con el eje OX en el origen, punto (0,0) y en el punto (-7,5; 0). Corta con el eje OY en el origen (0,0)

APARTADO F.- De las Asíntotas, tipo y ecuación:

Presenta una asíntota vertical de ecuación x=3 y muchos profesores dirían que tiene otra vertical de ecuación x=-1, sólo que el comportamiento asntótico lo presenta la función sólo a la izquierda de x=-1, por eso de que esta función está definida a trozos.

Parece respecto al tramo V (ya que la gráfica que se nos muestra no es completa) que la función presenta además una asíntota horizontal cuando x tiende a infinito de ecuación y=1

APARTADO G.- De los límites en los puntos que se indican:

Observando el dibujo y teniendo en cuenta que el límite es la altura a la que se queda (o tiende) la función cuando nos acercamos infinitamente al valor de la x indicado en el límite

Ya que coinciden los límites laterales y entonces se puede hablar de límite a secas.

Ya que coinciden los límites laterales y entonces se puede hablar de límite a secas.

No existe este límite, ya que no coinciden los límites laterales

Los límites laterales en cero coinciden

No existe, ya que los límites laterales en x=1 son diferentes: por la izquierda es igual a -1 y por la derecha es igual a -1/2.

APARTADO H.- De los valores de la función siguientes:

Se indica en la gráfica con el circulito negro el valor que toma la función en ese punto.

APARTADO I.- Del tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función I (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

Es un función lineal, una recta, una función polinómica de primer grado.

APARTADO J.- Del tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función II (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

Es un función lineal, una recta, una función polinómica de primer grado.

APARTADO K.- Del tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función III (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

Es un trozo de función racional. Se trata de una función que es cociente de dos polinomios, de tal manera que el polinomio de abajo, del denominador se anula en x=-1. Tener en cuenta que este trozo presenta una asíntota vertical en x=-1.

APARTADO L.- Del tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función IV (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

Tiene pinta de ser una parábola, una función polinómica de grado dos.

APARTADO M.- Del tipo de función que corresponde al tramo, trozo, función V (recta, parábola, función polinómica de grado superior a 2, racional, irracional, exponencial, logarítmica…):

Es un trozo de función racional. Se trata de una función que es cociente de dos polinomios, de tal manera que el polinomio de abajo, del denominador, se anula en x=3. Tener en cuenta que este trozo presenta una asíntota vertical en x=3.

APARTADO N.- De rellenar los recuadros en blanco de la definición a trozos de la función con la expresión analítica de cada uno de los “trozos” de la función que corresponda, de forma intuitiva y razonada, sin hacer operaciones (en este apartado se valorará el acercamiento a la expresión analítica correcta, ya que del gráfico puede que no quede muy claro cuál es la misma):

N1.- ¿Función I?

Se trata de una recta. La ordenada en el origen se puede obtener fácilmente prolongando la recta, aunque se nos sale del dibujo: dará en torno al valor 15 o 16. Respecto a la pendiente notar sobre el dibujo que por cada unidad que avanza en la horizontal sube dos unidades verticales. Por ello la pendiente es positiva e igual a 2/1=2.

La ecuación de la recta es por lo tanto y=2x+15

N2.- ¿Función II?

Se trata de otra recta. La ordenada en el origen se puede obtener fácilmente prolongando la recta, que parece que pasará por el punto (0,0). En consecuencia no tiene ordenada en el origen, esto es, la ordenada en el origen es cero.

Respecto a la pendiente es negativa claramente. Por cada unidad que avanza en la horizontal baja una unidad vertica. Entonces la pendiente será -1/1=-1.

La ecuación de la recta es por lo tanto y=-x+0; y=-x.

N3.- ¿Función III?

Se trata de una función racional, en la que el denominador se anula para x=-1. Bastará con decir que será algo similar a:

Donde el numerador sería complicado en este nivel obtener el exacto y el denominador puede ser ese o cualquier otro que se anule en x=1.

N4.- ¿Función IV?

Se trata de una parábola, de una función cuadrática, de una función polinómica de segundo grado. El coeficiente que acompaña al término de segundo grado será positiva, ya que está abierta hacia arriba.

La ecuación que corresponde a ésta es: y=x2-2x, pero bastaría con el comentario del párrafo anterior. Para obtener la ecuación de manera completa se puede resolver un sistema con los coeficientes desconocidos tomando al menos tres puntos que conocemos de la parábola.

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N5.- ¿Función V?

Se trata de una función racional, en la que el denominador se anula para x=3. Bastará con decir que será algo similar a:

Donde el numerador sería complicado en este nivel obtener el exacto y el denominador puede ser ese o cualquier otro que se anule en x=3.

En este caso podemos ampliar comentando que parece por el dibujo que tendrá este tramo V una asíntota horizontal de ecuación y=1, por ello, el límite de la función en el infinito sería 1 y por lo tanto la función racional tendrá dos polinomios del mismo grado y cuyo cociente de coeficientes debería ser ese valor 1 del límite, por ello nos atrevemos a proponer, eligiendo ese denominador:

Para que el límite en el infinito sea igual a 1.

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