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Método de Integración de Funciones Racionales con Raíces Imaginarias en el Denominador

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON RAICES IMAGINARIAS:

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 Recordar que con raíces imaginarias se nos presentan tres casos:

II.4) Si el denominador al descomponerlo tiene RAÍCES IMAGINARIAS, a su vez se distinguen tres casos:

II.4.a) Numerador de grado cero y denominador de segundo grado

II.4.b) Numerador de primer grado y denominador de segundo grado

II.4.c) Denominador de grado superior a dos, con raíces imaginarias combinadas con reales

VER DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

Para estos tipos es conveniente RECORDAR ALGUNAS COSILLAS DE LAS RAÍCES COMPLEJAS:

Cuando nos encontramos con un polinomio que tiene raíces imaginarias, a la hora de integrar interesa la siguiente transformación, teniendo en cuenta la forma en la que se puede descomponer en factores un polinomio:

Si al resolver una ecuación de segundo grado del tipo:

nos quedan soluciones imaginarias:

 

Podemos expresar el polinomio correspondiente en factores del siguiente modo:

 

 Y arreglándolo de manera conveniente para esto de integrar:

 

Estrategia que vamos a usar al referirnos a cada uno de estos tipos de integrales.

TIPO II.4.a) El más básico, en el que se apoyan los restantes, con denominador de grado cero (un número sin x) y denominador de segundo grado con soluciones imaginarias.

EJEMPLO GENERAL, PRÁCTICAMENTE UNA PLANTILLA:

EJEMPLO M2BE117A:

TIPO II.4.b) Numerador de primer grado y denominador de segundo grado con raíces complejas: intentaremos llevar el numerador a la derivada del denominador, con estrategias básicas de poner-quitar-compensar, para obtener dos integralitas: una será un logaritmo neperiano y la otra del tipo II.4.a) anterior, una arcotangente.

EJEMPLO GENERAL, CASI UNA PLANTILLA PARA ESTE TIPO:

Notar como interesa que en el Numerador tengamos la expresión 2x+b (derivada del denominador), para llevar la integral a un logaritmo neperiano.

Lo siguiente refleja las estrategias para lograrlo, todas legales.

 

EJEMPLO M2BE117C:

EJEMPLO M2BE118C:

 

TIPO II.4.c) Denominador con raíces imaginarias combinadas con reales:

La complicación radica en que aparecen raíces reales combinadas con un factor irreducible de 2º grado. Para expresar la función racional como suma de fracciones más simples, en el método de los coeficientes indeterminados, nos obliga a colocar en el numerador de la fracción con denominador irreducible un polinomio de primer grado con dos coeficientes por conocer: Mx+N.

EJEMPLO RESUELTO:

Notar el numerador de la fracción con denominador irreducible por tener raíces imaginarias.

Identificando numeradores y tomando valores para la x (son necesarios tres valores diferentes; uno de ellos x=0, los otros dos los que se desee), se obtiene:

 

Con lo que:

 

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