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Ecuaciones de la Recta en 3 dimensiones, para Geometría de Bachillerato

ECUACIONES DE LA RECTA EN TRES DIMENSIONES. GEOMETRÍA:

Para determinar una recta de forma inequívoca necesitamos un punto POR EL QUE PASE LA RECTA y un vector QUE LLEVE LA DIRECCIÓN DE LA RECTA.

Las diferentes formas de expresar una recta, partiendo de la primera (Ecuación vectorial) se pueden ir obteniendo las restantes:

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA VECTORIAL:

Donde:

P y d son respectivamente un punto de la recta y el vector director de la recta

ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMA PARAMÉTRICA:

Que se obtienen de la ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA igualando componente a componente.

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTÍNUA:

Que se obtiene despejando el parámetro λ de cada una de las ecuaciones paramétricas e igualándolas entre sí

ECUACIÓN DE LA RECTA EN TRES DIMENSIONES EN FORMA IMPLÍCITA (COMO INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS QUE SE CORTAN EN ESA RECTA):

Cada una de las ecuaciones anteriores corresponde a un plano en tres dimensiones. Cuando se cortan en una recta el sisitema formado por los dos planos determina la recta en la que se cortan.

El problema con esta ecuación es la obtención de un punto de la recta, el punto P; y la obtención del vector director, para con ellos poder realizar cálculos en geometría métrica y lo que es más importante, expresar la recta en el resto de las ecuaciones.

Para obtener un punto de la recta (el punto P), necesitamos los tres valores x, y, z. Teniendo en cuenta que el sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas tiene en principio infinitas soluciones, que son los infinitos puntos en los que se apoya la recta. Podemos entonces tomar una de las incógnitas (la x por ejemplo) como cero y calcular las otras dos (la y y la z) resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta.

Para obtener un vector en la dirección de la recta, teniendo en cuenta que la recta es perpendicular a los dos vectores normales a cada uno de los planos, por las propiedades del producto vectorial, lo podemos obtener del siguiente modo:

Que teniendo en cuenta que el producto vectorial coincide con el determinante colocado del siguiente modo, queda:

Una vez obtenidos el punto y el vector director de la recta, se puede expresar en cualquiera de las formas anteriores.

Otros profesores hacen lo siguiente:

Obtienen dos puntos de la recta, con el procedimiento que hemos indicado arriba: tomando x=0, por ejemplo, obtenemos un punto de la recta P; tomando y=0 por ejemplo, obtenemos otro punto de la recta P'. Cualquiera de estos puntos se puede usar como punto P.

El vector director será el vector PP', realizado con los dos puntos anteriores.

 

CONTINUAR CON ECUACIONES DEL PLANO.

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Enlace a un documento con el resumen de fórmulas de geometría y métrica: GEOMETRÍA y MÉTRICA

 

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