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Ejercicio Resuelto (M2BE1953) de Cálculo de Parámetros de una Función estableciendo condiciones relativas a su Derivada

EJERCICIO RESUELTO DE OBTENCIÓN DE PARÁMETROS EN UNA FUNCIÓN, COMO APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA:

SE RECOMIENDA ANTES DE VER ESTE EJERCICIO, LA CONSULTA DE ESTE OTRO EJERCICIO MÁS BÁSICO M1BE1954, DE OBTENCIÓN DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA PARÁBOLA, CONOCIDOS TRES PUNTOS POR LOS QUE PASA.

PODRÍA INTERESAR ADEMÁS IR A INDICACIONES PARA RESOLVER EJERCICIOS DE OBTENCIÓN DE PARÁMETROS

EJERCICIO M1BE1953:

Hallar a, b , c, y d para que f(x) = ax3+bx2+cx+d tenga un máximo en M ( 0 ,4 ) y un mínimo en m ( 2, 0).

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO M1BE1953:

   Estamos delante de una función polinómica de tercer grado, cuya expresión analítica estará resuelta cuando conozcamos los cuatro parámetros a, b, c y d.

Aunque parece que nos están dando dos datos: máximo en M ( 0 ,4 ) y mínimo en m ( 2, 0), en realidad hay cuatro datos (recordemos que para resolver cuatro incógnitas necesitamos al menos cuatro ecuaciones válidas –linealmente independientes-)

Los cuatro datos que están implícitos en el enunciado son, intentando desmembrarlos:

 

a.- Pasa por el punto (0,4)

b.- Pasa por el punto (2,0)

c.- Tiene un máximo en x=0

d.- Tiene un mínimo en x=2

a.- Por pasar por el punto (0,4) ocurre que cuando la x vale 0, la y vale 4. Esto puesto en forma de ecuación:

    

Con lo que ya tenemos un parámetro, el término independiente: d=4

b.- Por pasar por el punto (2,0) ocurre que cuando la x vale 2, la y vale cero. Esto puesto en forma de ecuación significa que:

    

Que teniendo en cuenta que d vale 4, nos queda la siguiente ecuación con tres incógnitas:

    

c.- Por tener un máximo en x=0, considerando que en los máximos y en los mínimos de una función su derivada se anula, vale cero, nos queda:

    

La derivada de f(x):

    

Por lo tanto:

    

Con lo que ya tenemos otro parámetro: c=0.

d.- Por tener un mínimo en x=2, la derivada de la función en x=2 vale cero:

    

Que además teniendo en cuenta que c=0, nos queda:

    

La ecuación (I), se nos queda teniendo en cuenta el valor de c=0:

    

Resolviendo ahora el sistema formado por estas dos últimas ecuaciones, la (II) y la (III):

    

Obtenemos el valor de a=1; b=-3, con lo que con el valor de todos los parámetros, la expresión analítica de la función pedida es:

    

Que si lo deseamos podemos comprobar que al representarla cumple con las condiciones indicadas.

 

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