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Ejercicio Resuelto (M1BE1954) de Obtención de la Expresión Analítica de una Parábola conocidos tres puntos de la misma

EJERCICIO DE OBTENCIÓN DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA DE 2º GRADO (PARÁBOLA) CONOCIDOS TRES PUNTOS POR LOS QUE PASA:

EJERCICIO M1BE1954:

Hallar la expresión analítica de una parábola que pasa por los puntos (0, 1); (1, 6) y (2, 17).

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO M1BE1954:

Cuestiones previas: Este ejercicio debe ser considerado una introducción para la resolución de ejercicios más complejos de uso habitual en P.A.U. , o como debemos decir ahora en E.B.A.U.. Nos referimos a ejercicios del tipo:

EJERCICIO M2BE1953

Hallar a, b , c, y d para que f(x) = ax3+bx2+cx+d tenga un máximo en M ( 0 ,4 ) y un mínimo en m ( 2, 0).

 

IR A LA RESOLUCIÓN DE ESTE EJERCICIO, EN EL QUE ADEMÁS SE UTILIZAN CONCEPTOS RELACIONADOS CON LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

 

Volviendo al ejercicio de la parábola, hay que tener en cuenta que la expresión analítica de una parábola (función polinómica de segundo grado es:

   

    

 

Con lo que hay que obtener tres parámetros: a, b y c.

 

Es por ello por lo que es necesario que nos aporten como dato tres puntos por los que pasa la misma.
 
Cuando una función pasa por un determinado punto: el primero de los que nos aportan, por ejemplo, el (0,1); lo que está pasando es que cuando la x vale 0, la y vale 1. Esto es lo que usaremos para obtener los parámetros.
Por ello, teniendo en cuenta que pasa por el (0,1):
 
    
 
Sustituyendo esto en la expresión analítica general de una parábola:
 
    
 
Ya tenemos uno de los parámetros; c=1. Haciendo lo mismo con los otros dos puntos:
Teniendo en cuenta que pasa por (1,6) y que además c=1:
 
    
 
 
Por pasar por (2,17) y teniendo en cuenta que c sigue valiendo 1, se nos generará otra ecuación, con la que podremos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtener los dos parámetros que nos faltan:

    

Si resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones (I) y (II)

    

Obtenemos los valores: a=3; b=2. Con lo que hemos terminado con el ejercicio, ya que nuestra parábola es:

    

Y se puede comprobar que pasa por los puntos indicados.

 

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