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Uso de los Infinitésimos equivalentes, en la obtención de la derivada de la función Logarítmica (Logaritmo Neperiano de x), utilizando la definición de derivada

USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO DE X (ln x; L x), UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA, PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO

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La función logaritmo neperiano de x, es una de las que más escepticismo desarrolla en los alumnos, cuando se la presentamos en la tabla de derivadas, ya que eso de que en la derivada del logaritmo neperiano desaparezca la operación logaritmo les sorprende. Hasta que no tienen los conocimientos de límites suficientes y concretamente los procedimientos asociados a los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, para el cálculo de límites, no se puede abordar esta cuestión y que vean que definitivamente desaparece la operación logaritmo de la expresión de la derivada.

Intentaremos solucionar esto, con lo que sigue.

EJERCICIO M2BP364:

Utilizando la definición de derivada, obtener la derivada de f(x) = ln x; o lo que es lo mismo: f(x) = L x

RESOLUCIÓN:

La definición de derivada:

Si pretendemos obtener la derivada de f(x) = ln x

Si en este momento hacemos el límite, nos queda una indeterminación habitual, cuando utilizamos la definición de derivada para calcular derivadas, (0/0), ya que:

Con lo cual, retrocediendo a la expresión anterior:

Y utilizando las propiedades de los logaritmos:

La expresión anterior nos queda:

Donde todavía no vamos a sustituir por h=0, ya que nos volvería a quedar la indeterminación (0/0).

Podemos utilizar las equivalencias entre infinitésimos mirando la tabla de infinitésimos equivalentes, que el elemento que nos interesa es:

Que en nuestro caso, teniendo en cuenta la expresión aplicada al logaritmo y que h es lo que tiende a cero:

Que incluyéndolo en la expresión anterior y desarrollando lo que resulta:

Nos queda el resultado que en ocasiones es sorprendente al "desaparecer" en la expresión de la derivada del logaritmo neperiano, la propia operación del logaritmo neperiano.

Tener en cuenta que el límite es cuando h tiende a cero, no cuando x tiende a cero.

 

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