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Uso de los Infinitésimos equivalentes, en la obtención de la derivada de la función exponencial, utilizando la definición de derivada

USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL (ex), UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA, PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO

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Deseamos calcular la derivada de la FUNCIÓN EXPONENCIAL, f(x) = ex , pero utilizando la definición de derivada. Con frecuencia cuando comenzamos a derivar, utilizamos la definición de derivada para ejemplos sencillos, justificando de este modo la tabla de derivadas que les presentamos, pero no disponemos en clase de los conocimientos suficientes para hacer derivadas, utilizando la definición, de funciones complicadas.

Con este ejemplo volvemos atrás para solucionar esta salvedad, la del acto de fé que hacen nuestros alumnos cuando les presentamos la tabla de derivadas con muchísimos elementos que no se les han podido demostrar, utilizando la definición de la operación.

La función exponencial ex, es posiblemente la más simpática y sorprendente para los alumnos, cuando se la presentamos en la tabla de derivadas. Es lógico que sin demostrarlo, las caras de ellos sean de auténtico escepticismo, ya que la derivada y la función coinciden, lo cual no deja de ser muy extraño.

Intentaremos solucionar esto, con lo que sigue.

EJERCICIO M2BP363:

Utilizando la definición de derivada, obtener la derivada de la función exponencial, f(x) = ex :

RESOLUCIÓN:

Pretendemos obtener la derivada de la función exponencial f(x) = ex , a partir de la definición de derivada de una función. La definición de derivada:

Si deseamos obtener la derivada de f(x) = ex

Si en este momento hacemos el límite, nos queda una indeterminación habitual, cuando utilizamos la definición de derivada para calcular derivadas, (0/0):

Con lo que queda claro que tenemos que jugar con la expresión del denominador.

Haciéndolo del siguiente modo, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias:

Por eso, el numerador nos queda:

Que obteniendo el factor común (de ex) en el numerador:

Es ahora cuando tenemos que recurrir a los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES:

En este caso la relación entre infinitésimos que nos interesa , mirando LA TABLA DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES:

Ya estamos en disposición de volver a las expresiones anteriores, en las que utilizando la estrategia de los infinitésimos equivalentes, podremos llegar a la solución de la derivada de la función exponencial.

Transformando el paréntesis del numerador por su equivalente:

Con lo que posiblemente, consigamos que este resultado deje de ser sorprendente para los alumnos, o por lo menos será más creíble.

 

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