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Uso de los Infinitésimos equivalentes en la obtención de derivadas trigonométricas (seno), utilizando la definición de derivada

EJERCICIOS RESUELTOS DE USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES EN APLICACIONES DE LA DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, PARA LA OBTENCIÓN DE DERIVADAS COMPLICADAS (TRIGONOMÉTRICAS), COMO LA FUNCIÓN SENO:

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Se pretende obtener la derivada de la función seno, f(x)=sen x, utilizando la definición de derivada. Con frecuencia cuando comenzamos a derivar, utilizamos la definición de derivada para ejemplos sencillos, justificando de este modo la tabla de derivadas que les presentamos, pero no disponemos en clase de los conocimientos suficientes para hacer derivadas, utilizando la definición, de funciones complicadas.

Con este ejemplo volvemos atrás para solucionar esta salvedad, la del acto de fé que han tenido que hacer nuestros alumnos cuando les presentamos la tabla de derivadas con muchísimos elementos que no se les han podido demostrar utilizando la definición de la operación.

Una vez se ha visto en clase, en el tema de límites, el uso de los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, se puede abordar esta cuestión.

EJERCICIO M2BP359:

Utilizando la definición de derivada, obtener la derivada de la función f(x)=sen x.

RESOLUCIÓN:

La definición de derivada de una función:

Si pretendemos obtener la derivada de f(x)=sen x

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica que nos da el seno de la suma de dos ángulos:

Donde hemos hecho una reordenación “legal” del numerador.

Si utilizamos ahora la propiedad del límite de la suma de dos funciones, que es igual a la suma de los límites:

Teniendo en cuenta los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES que nos interesan en este caso, que son:

Para el primero de los límites:

Para el segundo de los límites:

Podemos volver a la expresión anterior y obtener el valor de la derivada de la función seno, utilizando la definición:

Que como podemos ver es el elemento que le hemos presentado a los alumnos en la tabla de derivadas habitual, pero que en su momento, con casi total seguridad, no les hemos podido demostrar ya que normalmente no conocen las posibilidades de cálculo de límites complicados usando la herramienta de los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.

PODRÍA INTERESAR IR A LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO, UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Y ESTA ESTRATEGIA DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.

PODRÍA ASIMISMO INTERESAR IR A LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Y LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES PARA EL CÁLCULO DEL LÍMITE QUE RESULTA.

PODRÍA INTERESAR ADEMÁS IR A LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO DE X, UTILIZANDO COMO EN LOS ANTERIORES ARTÍCULOS, LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Y LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES EN EL CÁLCULO DEL LÍMITE QUE RESULTA

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