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Clasificación y Tipos de Discontinuidades de una Función

CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE DISCONTINUIDADES:

Recordemos la DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO x0:

Una función es continua en un punto de abscosa x0 si:

DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN:

Cuando una función deja de cumplir alguna de las condiciones de continuidad en el punto xo , se dice que es discontinua en ese punto. Estas condiciones están implícitas en la definición de continuidad anterior, ya que para que una función sea contínua en un punto (se dibuje sin levantar el lápiz del papel al pasar por el punto), tiene que tener límite (los límites laterales tienen que coincidir) y además coincidir con el valor de la función en el punto (tiene entonces que estar además definida -debe existir f(x0)-).

CLASIFICACIÓN TRADICIONAL DE LAS DISCONTINUIDADES:

DISCONTINUIDAD EVITABLE:

Existe el límite en ese punto, es decir:

Lo que implica que en su caso, coinciden los límites laterales.

Pero o no existe f(x0), es decir, la función no está definida en ese punto; o bien no coincide con el límite en ese punto.

El resto de los casos a continuación, se dice que son discontinuidades inevitables.

DISCONTINUIDAD DE 1ª ESPECIE:

DE SALTO FINITO:

Existen los límites laterales en el punto Y SON FINITOS, pero no coinciden (en la representación de la función se observará un salto determinado, un salto con un número finito de unidades):

SALTO INFINITO:

Se presenta cuando uno de los límites laterales es finito y el otro infinito. Los límites laterales nos dan valores infinitos (normalmente corresponde a presencia de asíntotas)

 DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA:

 Cuando los dos límites laterales de la función en el punto son infinitos:

 

   En este caso, tenemos que en ese punto tenemos una asíntota vertical.

 

 DISCONTINUIDAD DE 2ª ESPECIE:

Cuando la función no existe a uno de los lados del punto.

 

CLASIFICACIÓN RESUMIDA, cada vez más usada:

DISCONTINUIDAD EVITABLE, mismos límites laterales pero la función no existe en ese punto o bien no coincide con el valor del límite.

DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO, que presenta diferentes límites laterales, pero valores finitos.

DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO, cuando la función presenta una asíntota vertical. O sea, cuando uno o los dos límites laterales son infinitos.

 

Hay profesores a los que no les gusta la palabra "evitable" y mucho menos la palabra "inevitable" para una discontinuidad. Tuve un profesor en la universidad que decía que "si un tipo es idiota, es idiota, no lo puede evitar", del mismo modo, "si una función es discontínua, es discontínua y punto". Lo que hagamos por evitar la discontinuidad (definir la función en el punto con el valor de coincidencia de los límites laterales) hace que la función ya no sea la misma.

(En realidad el profesor no usó la palabra "idiota" sino otra que empieza por g..., pero no es plan publicarla aquí ya que esta página la visitan muchos menores).

 

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