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Racionalización de Denominadores con Ejemplos

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES:

Se trata de en expresiones como estas:

QUITAR las raíces del denominador; es decir, transformar esas expresiones que tienen raíces en el denominador en otras equivalentes en las que no hayan raíces en el denominador. Al final es como si trasladáramos las raíces del denominador al numerador, de abajo a arriba.

Este tipo de preguntas suelen resultar muy antipáticas, porque como ocurre con frecuencia en Matemáticas, muchas veces no vemos la utilidad o el sentido del por qué hacemos determinados cambios.

En este caso la razón es posiblemente LA TRADICIÓN. La tradición porque en una época no muy alejada de la actual en la que no existían las calculadoras, era mucho más complicado hacer a mano divisiones con raíces en el denominador que con raíces en el numerador.

Si sabemos que:

que los "más antiguos del lugar" lo sabían porque tenían unas tablas de raíces que manejaban con soltura; es bastante más difícil hacer la división a mano de:

que de:

que resulta bastante más sencilla.

Es por ello por lo que seguimos quitando raíces del denominador, por ser fieles a la tradición y por fastidiar..., perdón, para coger soltura con esto de los radicales y poder aplicarlo en contenidos superiores que lo requieran y bla, bla, bla... Al final..., tenemos que aprobar, así que a por ello:

TRES CASOS BÁSICOS DE RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES:

A) Cuando en el denominador hay una raíz cuadrada.

B) Cuando en el denominador hay una raíz enésima

C) Cuando en el denominador hay un binomio en el que uno o los dos elementos del binomio es una raíz cuadrada.

Notar como los ejemplos del comienzo del artículo responden a los tres casos y por orden.

A) CUANDO EN EL DENOMINADOR HAY UNA RAÍZ CUADRADA para quitarla del denominador es suficiente multiplicar arriba y abajo por la misma raíz del denominador (notar como multiplicando numerador y denominador por la misma cosa la expresión no varía).

EJEMPLO:

En general para este caso de racionalización:

B) CUANDO EN EL DENOMINADOR HAY UNA RAÍZ ENÉSIMA para quitarla del denominador se multiplica numerador y denominador por la misma raíz enésima pero elevada a un número igual a lo que le falta al exponente de lo de dentro de la raíz para igualar el índice de la raíz. Mejor con un ejemplo:

EJEMPLO:

Notar como para poder tener una raíz cúbica de algo al cubo hemos tenido que multiplicar por la raíz cúbica del mismo número elevado al cuadrado, para que se nos vaya la raíz.

En general para este caso de racionalización:

Que por las PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS QUE TIENEN LA MISMA BASE, la raíz del denominador:

C) CUANDO EN EL DENOMINADOR HAY UN BINOMIO, se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador (binomio con el signo cambiado) para poder aprovechar el PRODUCTO NOTABLE: “suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados” y se nos vayan las raíces:

EJEMPLO:

En general para este caso:

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