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Simetrías de una Función

SIMETRÍAS DE UNA FUNCIÓN:

Para representar funciones, en este apartado se estudian la simetría de la función respecto al eje OY (eje vertical) y la simetría respecto al origen (centro del sistema de referencia cartesiano):

SIMETRÍA RESPECTO AL EJE OY:

Se presenta cuando tenemos situaciones similares a ésta, claramente simétrica respecto al EJE OY (El eje OY es eje de simetría para la función):

Analíticamente, cuando esto ocurre, se verifica lo siguiente:

Notar en el dibujo como tenemos el mismo valor de la y, tanto para un valor determinado de la x positiva como negativa (la misma altura para x=2 que para x=-2 por ejemplo).

La gráfica representada corresponde a y=x2-1.

Para comprobar analíticamente (sin tener delante la representación de la función, únicamente con la expresión analítica), nos planteamos si se verifica, la condición para nuestra función. En este caso concreto, el representado:

Vemos que SÍ coinciden f(x) y f(-x) con lo que la función es simétrica respecto al eje OY.

Este tipo de simetría la presentan entre otras las funciones en las que la variable x está elevado a exponentes pares, por ello se llama a esta simetría respecto al eje OY, SIMETRÍA PAR, y a la función que la presentan, FUNCIÓN PAR.

SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN:

Cuando tenemos situaciones como la siguiente:

Notar como el origen, el punto (0,0) es un centro de simetría de la función.

Analíticamente, cuando esto ocurre, la función cumple:

Ya que encontramos que para un determinado valor de la x (positivo) tiene una altura que corresponde a “profundidad” para el mismo valor de la x negativo; o a la inversa.

Para plantearnos desde la expresión de la función, ANALÍTICAMENTE, si se presenta este tipo de simetría, nos preguntamos:

La función representada corresponde a y=2x3-4x, con lo que:

Vemos que sí que son iguales las dos expresiones:

Con lo que la función de este ejemplo es SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN.

Este tipo de simetría la presentan entre otras las funciones en las que la variable x está elevado a exponentes impares, por ello se llama a esta simetría respecto al origen, SIMETRÍA IMPAR, y a las funciones que la presentan, FUNCIONES IMPARES.

 

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