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Puntos de Inflexión de una Función

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Son puntos en los que la función no es cóncava ni convexa:

En lo que sigue, consideramos convexa a la silueta de la función de este modo: "∩"

Y Cóncava a la silueta de la función: "U", ya que hay autores que lo consideran al revés, ya que depende de cómo miremos la función, si desde arriba o desde abajo, nosotros la miramos desde arriba.

Si f’’(x0) = 0., y además f’’’(x0) > 0., la función presenta en x0 un P.I. convexo-cóncavo.

Si f’’(x0) = 0., y además f’’’(x0) < 0., la función presenta en x0 un P.I. cóncavo- convexo.

Se iguala la segunda derivada a cero y se sustituye en la tercera, si es distinto de cero, hay un punto de inflexión con las características que se mencionan , si al sustituir en la 3ª derivada da cero(*) (IR A CRITERIO DEFINITIVO PARA DISTINGUIR MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN), podría ser un Máximo o mínimo. Si no se va a calcular la tercera derivada (en ocasiones es demasiado complicado), la confirmación o no de que sea punto de inflexión la da la globalidad de la representación gráfica.

(*)Si f’(a) = f’’(a) = f’’’(a) = f n-1(a) = 0  y   f n(a) ≠ 0

Si n es impar: P.I. con tangente horizontal.

Si n es par:   si fn (a) < 0 → máx relativo (convexa)

                   si fn (a) > 0 → mín relativo (cóncava)

 

ESTUDIO DE LA CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN (CURVATURA):

Si f(x) es convexa en x0 <=> f’’(x0) < 0  

Si f(x) es cóncava en x0 <=> f’’(x0) > 0.

Trabajando en funciones, PARA ESTUDIAR LA CURVATURA POR INTERVALOS:

1.- Se estudia el dominio.

2.- Se iguala la segunda derivada a cero, estos puntos (serán posibles Puntos de inflexión –puntos donde la curvatura varía ) y además los que nos hayan dado como no perteneciente al dominio (RECORDAR QUE AQUÍ SEGURAMENTE HABRÁN ASÍNTOTAS VERTICALES) se colocan en la recta real ordenados, de tal modo que definen intervalos en los que la curvatura se mantiene constante.

3.- Tomamos un punto de cada uno de estos intervalos así construidos y lo sustituímos en la segunda derivada, si en ese punto la función es cóncava o cónvexa, lo es todo el intervalo al que pertenece.

 

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