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Aumento Lateral en el Dioptrio Esférico a través de la Ecuación de Hemholtz

AUMENTO LATERAL PARA EL DIOPTRIO ESFÉRICO A TRAVÉS DE LA ECUACIÓN DE HEMHOLTZ:

Del concepto de Foco Imagen y Foco Objeto y del modo que se comportan los rayos luminosos en estos puntos:

- Notar como el rayo que sale de A paralelo al eje óptico al atravesar el dioptrio lleva la dirección del foco imagen.

- Notar como el rayo que sale de A en dirección al foco objeto, al atravesar el dioptrio lleva una dirección paralela al eje óptico.

Las dos líneas anteriores confluyen en A’. Este es por lo tanto el punto imagen del punto A.

Si A termina en A’, mediante los dos rayos anteriores, un rayo que parta de A e incida sobre el dioptrio en E, se refractará y terminará en A’, con un ángulo de incidencia i y de refracción r, siguiendo el rayo verde.

Si A termina en A’, O lo hace en O’ siguiendo el rayo azul.

Por ello el rayo que sale de O (en azul) y que se dirige hacia el dioptrio formando un ángulo de incidencia (θ) con el eje óptico, al atravesarlo se refracta y se dirige hacia O’, formando un ángulo (θ’).

Teniendo en cuenta el rayo verde, con ángulo de incidencia i y de refracción r:

Que con la aproximación paraxial:

Teniendo en cuenta el rayo azul, con ángulo de incidencia θ y de refracción θ’. (notar que h no tiene por qué tener la misma altura que y, puede caer en otro punto del dioptrio y de hecho lo hace (en B).

Que con la aproximación paraxial:

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (VI):

 

De la ley de Snell:

Con la aproximación paraxial:

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para i y para r anteriormente (en función de θ y de h)

Podemos eliminar la h al figurar en los dos miembros y nos queda:

Que es la ECUACIÓN DE HEMHOLTZ, que nos dice que: “el producto n · y · θ es INVARIANTE a través de una superficie esférica, siendo tambien válido para cualquier sistema formado por un conjunto de superficies ópticas centradas”.

Entonces, como EL AUMENTO LATERAL se define como:

Despejando de la ECUACIÓN DE HEMHOLTZ el cociente y’/y:

El Aumento Lateral nos queda:

Si además tenemos en cuenta que de la ecuación (VII), aproximada en paraxial:

Nos queda el Aumento Lateral:

Que es el Aumento Lateral en un dioptrio esférico, y hemos llegado al mismo resultado que trabajando por otro camino, tal y como se muestra en el artículo AUMENTO LATERAL.

 

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