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Ecuación Fundamental del Dioptrio Esférico, para Óptica Geométrica de Física de Bachillerato

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL DIOPTRIO ESFÉRICO, PARA ÓPTICA GEOMÉTRICA:

Supongamos un DIOPTRIO (superficie de separación entre dos medios transparentes con distinto índice de refracción) esférico y convexo como en el caso representado, de radio de curvatura R, con centro en el punto C.

La luz incide en el dioptrio en el punto P.

Los índices de refracción son n y n’, que en el caso representado n’ > n, notar como el rayo de refracción se acerca a la normal más que el ángulo de incidencia.

Supongamos el rayo representado que saliendo del punto O incide sobre el dioptrio en el punto P. Este rayo forma un ángulo α con el EJE ÓPTICO (recta que une O con O’)

En ÓPTICA GEOMÉTRICA y para simplificar los cálculos se utilizan RAYOS PARAXIALES, que son rayos que forman un ángulo con el eje óptico pequeño, menores o iguales que 10º; en estos ángulos se cumple que tanto el seno del ángulo, como la tangente del ángulo, son aproximadamente iguales al ángulo expresado en radianes.

 

s es la distancia a la que se encuentra el objeto.

s’ es la distancia a la que se forma la imagen

R es el radio de curvatura del dioptrio

n es el índice de refracción del primer medio

n’ es el índice de refracción del segundo medio

Para lo que viene a continuación, se utiliza el CONVENIO DE SIGNOS PROPUESTO POR LAS NORMAS DIN, para óptica geométrica, que puede resultar conveniente consultar.

Utilizando los triángulos de la figura y los ángulos con respecto a la normal y al eje óptico, obtenemos las siguientes relaciones:

180º = β + φ

180º = r + γ + φ      (del triángulo PCO’)

Con lo que:

β + φ = r + γ + φ

y por lo tanto:

β = r + γ

Nos interesa despejar r, que resulta:

          

Por otro lado:

180º = i + ε

180º = α + β + ε ;    (del triángulo OPC)

Con lo que:

i + ε = α + β + ε

Y por lo tanto:

i = α + β; que considerando que α es negativo según el convenio de signos:

Sustituyendo estas dos expresiones en la ley de Snell:

La ley de Snell: n · sen i = n’ · sen r

Con la aproximación paraxial: n · i = n’ · r

nos queda:


Si tenemos en cuenta que según el dibujo:

Con la aproximación, por ser rayos paraxiales, nos queda:

Por todo ello, la ecuación (I):

Que dividiendo todo por h:

La expresión:

que no varía de valor al escribirla para el espacio objeto o con los datos del espacio imagen, recibe el nombre de INVARIANTE DE ABBE.

Modificando la ecuación II:

Llegamos a:

Que es la ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL DIOPTRIO ESFÉRICO, a partir de la cual y haciendo las consideraciones y aproximaciones oportunas obtendremos las ecuaciones en las que se basa la ÓPTICA GEOMÉTRICA, con lo que puede ser interesante continuar visitando los siguientes artículos:

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