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Obtención de la Tercera Ley de Kepler

OBTENCIÓN DE LA TERCERA LEY DE KEPLER:

PODRÍA INTERESAR IR A LEYES DE KEPLER PARA GRAVITACIÓN EN EL UNIVERSO Y MOVIMIENTO DE SATÉLITES

Para esta demostración, partiremos de la velocidad orbital, teniendo en cuenta que el movimiento para simplificar lo consideraremos circular uniforme utilizaremos la segunda ley de Newton para movimientos circulares (en este caso afectado por la fuerza gravitatoria) y terminaremos despejando el período (tiempo que se tarda en dar una vuelta completa)

RECORDEMOS QUE LA VELOCIDAD ORBITAL:

Es la velocidad que debe tener un cuerpo para mantenerse en una órbita (vamos a considerar que el movimiento de planetas y satélites es circular por simplificación) de forma que su fuerza centrípeta (centrífuga) compense a la de fuerza de atracción gravitatoria.

Si suponemos que la trayectoria es circular, para que se mantenga ese movimiento circular, la fuerza gravitatoria es precisamente la fuerza centrípeta, la causante del movimiento circular, la que "tira" del cuerpo que orbita hacia dentro del movimiento circular:

(o visto de otra forma utilizando la segunda ley de Newton para el movimiento circular uniforme: ΣF=m·ac ; Fg=m·ac ).

En cualquier caso, si r es el radio de la órbita,m la masa del satélite, y M la masa del astro que está ejerciendo una fuerza gravitatoria sobre el satélite, la velocidad orbital del satélite se obtiene:

 

que es la velocidad de tiene que tener el satélite para que mantenga el movimiento orbital alrededor del planeta por el que se siente atraído.

Al considerar la órbita circular y el movimiento uniforme, la longitud de una órbita completa es la longitud de la circunferencia: L=2πr, con lo que el tiempo empleado en recorrerla, es decir el Período (T):

Si elevamos al cuadrado la expresión anterior:

 

y agrupamos los términos constantes, obtenemos la TERCERA LEY DE KEPLER:

Que si bien la hemos obtenido para un satélite que orbita alrededor de un planeta, es igualmente válida para los planetas que orbitan alrededor del Sol

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