RESOLUCIÓN PASO A PASO DEL PROBLEMA II DE OPTIMIZACIÓN:

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EJERCICIO M2BE1898:

Hallar el triángulo isósceles de área máxima de entre todos los que tienen un perímetro de 30 cm.

RESOLUCIÓN:

Los pasos corresponden a las indicaciones del enlace anterior.

1.- Está claro que lo que queremos que sea máximo es el área, que es igual a “base por altura entre 2” .

2.- Hay que ponerla en función de una sóla variable:

Tener en cuenta que se forman dos triángulos rectángulos en los que podemos utilizar Pitágoras con la mitad de la base y además el dato del perímetro: 2a+b=30

Con todo ello:

Arreglando la expresión para que el cálculo de la derivada sea más cómodo:

3.- Esta última es la función que debemos derivar e igualar a cero.

Como la segunda derivada es bastante complicada de calcular, utilizamos el criterio de la primera derivada (un poco antes del valor y un poco después-tiene que ser antes del máximo creciente-positiva y después decreciente-negativa). Si la b=10 (que b=0) no tiene sentido.

b=10 es máximo, ya que antes de este valor la función es creciente y después decreciente (fijarse en el signo de la primera derivada en puntos anteriores y posteriores a él).

Para calcular el lado a, basta con sustituir en la ecuación:

O sea que el triángulo final es equilátero.

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