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Clasificación y Tipos de Discontinuidades de una Función

CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE DISCONTINUIDADES:

Recordemos la DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO x0:

Una función es continua en x0 si:

DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN:

Cuando una función deja de cumplir alguna de las condiciones de continuidad en el punto xo , se dice que es discontinua en ese punto. Estas condiciones están implícitas en la definición de continuidad anterior, ya que para que una función sea contínua en un punto (se dibuje sin levantar el lápiz del papel al pasar por el punto), tiene que tener límite (los límites laterales tienen que coincidir) y además coincidir con el valor de la función en el punto (tiene entonces que estar además definida -debe existir f(x0)-).

CLASIFICACIÓN TRADICIONAL DE LAS DISCONTINUIDADES:

DISCONTINUIDAD EVITABLE:

No existe f(x0), es decir, la función no está definida en ese punto.

Pero sí existe el límite en ese punto, es decir:

DISCONTINUIDAD DE 1ª ESPECIE:

Existe f(x0), es decir, la función si está definida en el punto.

Existe además el límite:

Pero no coincide el límite con el valor de la función en el punto;

DISCONTINUIDAD DE 2ª ESPECIE:

SALTO FINITO:

Existen los límites laterales en el punto, pero no coinciden (en el dibujo se observa un salto determinado, un salto con un número finito de unidades):

SALTO INFINITO:

Los límites laterales nos dan valores infinitos (normalmente corresponde a presencia de asíntotas)

 

CLASIFICACIÓN RESUMIDA, cada vez más usada:

DISCONTINUIDADES DE SALTO ,que presenta diferentes límites laterales

EVITABLES mismos límites laterales pero la función no existe en ese punto

ESENCIALES, cuando la función se dispara hacia infinito

 

Hay profesores a los que no les gusta la palabra "evitable" para una discontinuidad. Tuve un profesor en la universidad que decía que "si un tipo es idiota, es idiota, no lo puede evitar", del mismo modo, "si una función es discontínua, es discontínua y punto". Lo que hagamos por evitar la discontinuidad (definir la función en el punto con el valor de coincidencia de los límites laterales) hace que la función ya no sea la misma.

(En realidad el profesor no usó la palabra "idiota" sino otra que empieza por g..., pero no es plan publicarla aquí ya que esta página la visitan muchos menores).

 

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