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Ecuación de una Onda Progresiva o Viajera. Movimiento Ondulatorio Unidireccional

EXPRESIÓN MATEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO UNIDIRECCIONAL. ECUACIÓN DE ONDA:


IR A CONCEPTO DE ONDA (MOVIMIENTO ONDULATORIO)

Pretendemos obtener una expresión matemática para caracterizar el movimiento ondulatorio que se produce por ejemplo al tirar una piedra en una piscina. Consideremos el perfil que se obtiene en una dirección a partir del punto donde cae la piedra. Hay que entender que es un perfil que evoluciona en el tiempo. Si hacemos una fotografía, obtendremos el perfil en un instante, esto sería la representación típica de una onda de forma sinusoidal (con forma de función seno o coseno); pero entendiendo que es la forma que tiene en un instante, que evoluciona en el tiempo. Lo que nos interesa es la medida de la perturbación que se está produciendo en el medio, esto es, en nuestro caso, la altura del agua respecto a un nivel medio del agua en reposo. Es lo que se llama la elongación (y), que como depende de la distancia al origen de la perturbación (x) y del tiempo (t) se escribe y(x,t).

En todo lo anterior se entiende que tomamos como sistema de referencia unos ejes cartesianos, donde el eje y está en la vertical y el eje x en la horizontal, y suponemos que el movimiento se está produciendo según la dirección del eje x positivo, a partir del punto donde se produce la perturbación que se considera el origen del sistema de referencia. Notar como damos por supuesto que la perturbación está originada por un movimiento vibratorio en el origen de la onda. (la mano que hacemos vibrar en el inicio de una cuerda tensa sujeta a una pared, como si la moviéramos como un movimiento armónico simple)

En el origen del movimiento (x=0) la elongación vendría dada por la ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE que origina la onda: y=A·sen wt.

               

w es la frecuencia angular o pulsación, f es la frecuencia, A es la amplitud, del Movimiento Vibratorio Armónico Simple que origina la Onda.

Si consideramos un punto cualquiera del medio donde se propaga la perturbación, distante del origen una longitud x, al que llega la vibración después de un tiempo t', tendremos que la ecuación que caracteriza el movimiento de este punto, (movimiento en la vertical, elongación), será:

ya que este punto ha comenzado a vibrar t' segundos más tarde.

Por razones obvias es interesante expresar t' en función de la distancia x que ha tenido que recorrer la perturbación hasta situarse en este punto, con lo que llamando v a la velocidad de propagación de la onda queda que: t'=x/v ; ya que v=espacio/tiempo t=e/v.


Teniendo en cuenta que T (PERÍODO) es el tiempo que tarda en pasar lo que se denomina una LONGITUD DE ONDA (λ), que es la mínima distancia a la que se repite la forma de la onda (distancia entre dos puntos consecutivos de la onda que están en fase), entonces, como [velocidad=espacio/tiempo] v= λ /Tλ=v·T queda:

que es la ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO UNIDIRECCIONAL, o lo que es lo mismo la ecuación de una onda progresiva o viajera, LA ECUACIÓN DE ONDA.

NO DEJE DE IR A OTRAS FORMAS DE LA EXPRESIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA, EN FUNCIÓN DE PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS

 

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